Фокальное свойство гиперболы

Городская научно-практическая

Конференция школьников г. Искитима

Секция математики

Фокальное свойство гиперболы

Оноприенко Олег

МОУ СОШ № 3, 10 класс, г. Искитим

Научный руководитель:

Добрыгина Ольга Владимировна

Учитель I квалификационной категории

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Введение………………………………………………………………………………… 3

2. Основная часть

а) Определение гиперболы…………………………………………………………….. 4

б) Постановка задачи………………………………………………………………...…. 5

в) Исследование задачи……………………………………………………………….... 6

г) Лабораторная работа…………………………………………………………...……. 8

д) Применение……………………………………………………………………….….. 8

3) Заключение…………………………………………………………………………….…. 9

4) Список используемой литературы…………………………………………………..… 10

ВВЕДЕНИЕ

По школьной программе о гиперболе я узнал очень мало. За курс алгебры восьмого класса я научился строить график функции , понял некоторые свойства, а также допустимые и недопустимые значения функции.

И вот недавно я узнал, что многие свойства гиперболы проявляются в технике и создании новейших приборов, и об одном из них я решил больше узнать.

Я узнал, что наземный радар с помощью гиперболического зеркала может навести на ложную цель боевой самолёт в воздухе. Происходит это так: радар посылает волны на некое зеркало, которое отражает пущенные им лучи, а их продолжения собирает в новом втором фокусе. Когда пилот самолёта узнает, что его обнаружил радар, он отправляет ракеты для уничтожения наземного прибора, а так как при отражении от зеркала образовался новый фокус, то ракета, пущенная по отражённым волнам, попадает в ложную цель – второй фокус.

Вот собственно в этом я и хочу разобраться, как это происходит на самом деле.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

ГИПЕРБОЛА

Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (2а), меньшая расстояния между фокусами (2с).

Уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси Ох, имеет вид

где а – длина действительной полуоси; b – длина мнимой полуоси (рис. 1).

Зависимость между параметрами а, b, и с выражается соотношением

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к её действительной оси:

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

ФОКАЛЬНОЕ СВОЙСТВО ГИПЕРБОЛЫ

Если источник света поместить в один из фокусов гиперболы, то лучи, отразившись от гиперболы, пойдут так, как будто бы они исходят из другого фокуса.

Пусть А – точка падения луча, исходящего из фокуса F₁ гиперболы, а – касательная (рис. 2). Тогда углы 1 и 2 равны, так как касательная а содержит биссектрису угла F₁AF₂. Углы 2 и 3 равны, как вертикальные углы. Следовательно, углы 1 и 3 равны. Поскольку угол падения луча света в точке А равен углу 1, то угол отражения будет равен углу 3, то есть луч света после отражения в точке А пойдет в направление F₂А.

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ

Уравнение касательной имеет вид:

разделим на

получим: (каноническое уравнение прямой касательной)

- направляющий вектор.

Найдем координаты векторов и : . Точка

Найдём углы и .

аналогично найдём

так как (угол падения равен углу отражения)

- вертикальные,

и значит

Следовательно

сократим на и получим

в левой части этого равенства находится производная функции , так как

Аналогично в правой части. Так находится производная , так как

Таким образом, данное равенство примет вид:

=

Р азность производных равна производной разности функций

Если производная равна нулю, то это производная постоянной величины, т.е. const.

Значит

Заменим

Возведём обе части в квадрат

Разделим на 4 обе части равенства, получим:

Возведем в квадрат:

Разделим на

Так как , то

Получили уравнение гиперболы.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

Укажем способ получения гиперболы из листа бумаги. Вырежем из листа бумаги круг и отметим точку F на оставшейся части листа. Сложим лист так, чтобы эта точка совместилась с какой-нибудь точкой F` окружности вырезанного круга и на бумаге образовалась линия сгиба. Разогнем лист и снова согнем его, совместив точку с другой точкой окружности. Сделаем так несколько раз. Линии сгиба будут касательными к гиперболе. Граница участка внутри этих сгибов будет иметь форму гиперболы.

ПРИМЕНЕНИЕ

1. В изготовлении линз

2. В изготовлении приборов ложной цели

3. Авиастроении

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Благодаря собранному материалу, я удовлетворил свою любознательность. Теперь могу себе смело сказать, что мои знания чуть-чуть увеличились. Я понял то, что мы изучали в младших классах, составляет основу каких-то величайших изобретений человечества. И вот у одного такого изобретения я понял принцип действия.

Я не жалею времени, которое потратил на подробное изучение гиперболы. Хочу чтобы, такие мероприятия проводились хотя бы два раза в год. Это способствует повышению знаний учеников.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1) Н. В. Богомолов

Практические занятия по математике

2) Математическая газета «Первое сентября»