Электронная лекция "Поверхности второго порядка"

Подготовила:

преподаватель математики

И.М. Долгова

Электронная лекция

ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

по дисциплине «Математика»

Электронная лекция включает в себя конкретный материал курса математики о поверхностях второго порядка. Целью создания данного материала является формирование математической грамотности студентов, умение работать с электронными источниками информации.

Для студентов средних специальных учебных заведений.

ОГЛАВЛЕНИЕ

• Введение
• Лекция на тему: «Поверхности второго порядка»
• Заключение
• Литература

ВВЕДЕНИЕ

Еще два десятилетия назад бесспорным казался лозунг «Программирование – вторая грамотность, под которым подразумевалось умение каждого образованного человека создавать алгоритмы и программировать на языках FORTRAN, BASIC и т.п. В современных условиях для большинства из нас стало актуальным не столько программирование (в старом смысле слова), сколько умение пользоваться информационными технологиями.

Проникновение компьютера во все сферы жизни общества убеждает в том, что культура общения с компьютером становится частью общей культуры человека. Поэтому задача профессиональных учебных заведений не только дать своим выпускникам специальные знания, но и подготовить их к жизни и деятельности в информационном обществе.

С этой целью разработана электронная лекция по математике для студентов специальностей 110201 «Агрономия» и 110301 «Механизация сельского хозяйства». Она содержит конкретный материал по теме «Поверхности второго порядка».

Данная тема рассмотрена несколько шире, чем это принято программой для ССУЗов, что, по мнению автора, необходимо при использовании уровневой дифференциации обучения математике.

Электронная лекция может быть использована как пособие по математике для самостоятельной работы студентов, однако, надо иметь в виду, что учебника по математике она не заменяет. Изложение теоретического материала сопровождается тестовым заданием для самопроверки, ведется на доступном, по возможности строгом языке.

Рекомендуется вести конспект изученного электронного материала.

Лекция поможет студентам освоить одну из сложных тем курса математики, подготовиться к сдаче зачета или экзамена; ее можно использовать при написании докладов и рефератов.

ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Если в пространстве R ввести прямоугольную систему координат Ох у z , то каждая поверхность определяется некоторым уравнением F ( x , y , z ) = 0, ( x , y , z ) – координаты любой точки поверхности. Если F ( x , y , z ) – многочлены не выше второй степени относительно совокупности переменных x , y , z , то уравнение F ( x , y , z ) = 0 называется уравнением второго порядка , а поверхность, изображаемая этим уравнением называется поверхностью второго порядка .

Если поверхность имеет специфическое расположение относительно системы координат (например, симметрична относительно некоторых координатных плоскостей, или имеет вершину в начале координат и пр.), то ее уравнение имеет достаточно простой вид, который называется каноническим .

3

Таблица

КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД УРАВНЕНИЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ

Поверхности второго порядка

Поверхности

вращения

Конические

поверхности

Цилиндрические

поверхности

Сфера

Эллипсоид вращения

Цилиндр

Цилиндр

параболический

эллиптический

Цилиндр

гиперболи ческий

Параболоид вращения

Гиперболоид вращения

Параболоид

эллиптический

Двуполостный гиперболоид

Гиперболический параболоид

Однополостный гиперболоид

Тест

Сфера радиуса R с центром в начале координат

х 2 + у 2 + z 2 = R 2 .

Уравнение ( х – х 0 ) 2 + ( у – у 0 ) 2 + ( z – z 0 ) 2 = R 2 изображает сферу радиуса R с центром в точке М 0 ( х 0 , у 0 , z 0 ).

Таблица

Эллипсоид с полуосями а, b , c и центром в начале координат

При a = b = c = R эллипсоид превращается в сферу радиуса R .

Таблица

Однополостной гиперболоид с полуосями a , b , c и осью О z

Сечения гиперболоида горизонтальными плоскостями z = h являются эллипсами

Сечения гиперболоида вертикальными плоскостями х = h или у = h являются гиперболами.

или

Таблица

c являются эллипсами Сечения гиперболоида вертикальными плоскостями х = h или у = h являются гиперболами. или Таблица " width="640"

Двуполостный гиперболоид с полуосями a , b , c и осью О z

Сечения гиперболоида горизонтальными плоскостями z = h , | h|c являются эллипсами

Сечения гиперболоида вертикальными плоскостями х = h или у = h являются гиперболами.

или

Таблица

0 при р 0, h р Сечения параболоида вертикальными плоскостями х = h или у = h являются параболами. или Таблица " width="640"

Параболоид эллиптический с параметрами a , b , p и вершиной в

начале координат

Сечения параболоида горизонтальными плоскостями z = h , ( h 0 при р 0, h р

Сечения параболоида вертикальными плоскостями х = h или у = h являются параболами.

или

Таблица

Параболоид гиперболический с параметрами a , b , p и вершиной в

начале координат

Сечения параболоида горизонтальными плоскостями z = h представляют собой гиперболы

Сечения вертикальными плоскостями у = h или х = h являются параболами.

или

Таблица

Конус эллиптический с вершиной в начале координат и осью О z

Если a = b , то конус круглый или круговой. Пересечение конуса горизонтальными плоскостями являются эллипсами

(при h = 0 эллипс вырождается в точку).

Сечения конуса вертикальными плоскостями х = h или у = h являются гиперболами

при h ≠ 0 ,

или

или парой пересекающих прямых

при h = 0.

или

Таблица

Цилиндр эллиптический

Если a = b = R , то цилиндр – круговой х 2 + у 2 = R .

Таблица

Цилиндр гиперболический

Таблица

Цилиндр параболический

Таблица

Тестовое задание для самопроверки

Установите тип заданных поверхностей:

• (х-4) 2 + (у-7) 2 + ( z+1) 2 = 36

А. сфера с центром в точке (4; 7; -1) и R =6

Б. эллипсоид

В. сфера с центром в точке (-4; 7; -1) и R =6

Г. параболоид гиперболический

А. однополостной гиперболоид

Б. цилиндр гиперболический

В. цилиндр параболический с образующей, параллельной оси Ох

Г. цилиндр параболический с образующей, параллельной оси О z

А. однополостной гиперболоид

Б. конус эллиптический

В. двуполостной гиперболоид

Г. эллипсоид

А. цилиндр параболический

Б. эллипсоид: а=2, в=4, с=9

В. однополостной гиперболоид

Г. параболоид гиперболический

А. эллипсоид

Б. двуполостной гиперболоид

В. конус эллиптический с осью Оу

Г. конус эллиптический с осью О z

А. цилиндр параболический

Б. параболоид гиперболический

В. эллипсоид

Г. однополостной гиперболоид

Таблица

Ответы

Ответы к тестовому заданию

1

А.

2

Б.

3

4

Б.

В.

5

6

А.

Г.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предлагаемая электронная лекция позволяет приобщить студентов к творческой самостоятельной деятельности на учебном материале. Она подготовлена таким образом, чтобы при рассмотрении целой темы был обеспечен научный уровень изучаемого материала и, с другой стороны, были бы обеспечены доступность, изящество и красота.

Способствует формированию устойчивого интереса к изучаемому предмету.

ЛИТЕРАТУРА

• Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для средних проф. учеб. заведений/Н.В. Богомолов. – 8-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2006. – 495 с.
• Колягин Ю.М. Математика: Учебное пособие/Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, Г.Н. Яковлев. – В 2 кн. Кн. 2. – 4-е изд., испр. и доп. – М.: ООО «Издательство Новая волна»: Издатель Умеренков, 2004. – 592 с.: ил.
• Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Полный курс/Д.Т. Письменный. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2004. – 608 с.: ил. – (Высшее образование).
• Шафрин Ю.А. Информационные технологии: В 2 ч. Ч. 1: Основы информатики и информационных технологий./Ю.А. Шафрин. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2002. – 320 с.
• Шафрин Ю.А. Информационные технологии: В 2 ч. Ч. 2: Офисная технология и информационные системы./ Ю.А. Шафрин. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2002. – 336 с.

Выход