Экстремальные задачи функции двух переменных

Экстремальные задачи функций двух переменных

Автор работы: Козельцев Андрей

Научный руководитель: Козадаев Виктор Сергеевич

• Предмет исследования: функции двух переменных.
• Цель: исследование функций двух переменных, решение экстремальных задач.
• Задачи:

• Определить понятие функции двух переменных; Изучить ее основные аспекты (предел, непрерывность, частные производные); Научиться решать задачи на нахождение экстремумов; Научиться применять полученные знания для нахождения наибольшего и наименьшего значений функций двух переменных.
• Определить понятие функции двух переменных;
• Изучить ее основные аспекты (предел, непрерывность, частные производные);
• Научиться решать задачи на нахождение экстремумов;
• Научиться применять полученные знания для нахождения наибольшего и наименьшего значений функций двух переменных.

Вступление

Некоторые зависимости, существующие в математике, невозможно описать с помощью функций одной переменной. Для их изучения необходимо расширить понятия функциональной зависимости до нескольких переменных. В моей работе я рассмотрю разные аспекты функций двух переменных и применю полученные знания для решения экстремальных задач.

Определение

Функция двух переменных – соответствие, при котором каждой паре из множества D соответствует единственное значение из множества E. Тогда являются независимыми переменными (аргументами), а

зависимой функцией. Множества D и E называются областью определения функции и множеством допустимых значений соответственно.

В математике функцию двух переменных принято записывать следующим образом:

Геометрическое изображение

Графиком функции двух переменных является поверхность: каждая пара аргументов определяет точку P в плоскости , а значение функции в этой точке есть аппликата пространственной точки ; геометрическое положение всех точек есть поверхность, которая и служит геометрическим изображением функции

Предел функции двух переменных

Пусть функция определена в некоторой области

и - точка, лежащая внутри или на границе этой области.

Конечное число A называется пределом функции

при и , если для любого положительного числа   можно найти такое положительное число  , что неравенство  выполняется для всех точек   

из области  , отличных от  , координаты которых удовлетворяют неравенству .

Записывают следующим образом:

Непрерывность

Геометрической интерпретацией функции двух переменных служит поверхность, при этом она может быть как единым целым, так и терпеть разрывы. В случае функции одной переменной существовали лишь одиночные точки разрыва, тогда как для функции двух переменных точки разрыва могут образовывать целые линии.

Функция называется непрерывной в точке

, если она:

1) определена в этой точке и некоторой ее окрестности;

2) имеет предел;

3) этот предел равен значению функции в точке , т.е.:

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нарушается (не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции в точке), называются точками разрыва этой функции.

Арифметические операции над непрерывными функциями и построение сложной функции из непрерывных приводят к непрерывным функциям.

Если функция определенна и непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она:

• ограничена в этой области;
• имеет точки, в которых принимает наибольшее и наименьшее значения в этой области;
• хотя бы в одной точки из этой области принимает численной значение, заключенное между и .

Частные производные

Каждая частная производная по или по функции двух переменных представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной при фиксированном значении другой переменной.

Частной производной функции двух переменных

по называется предел:

, если он существует.

Аналогично определяется частная производная по .

Для вычисления частных производных работают все те же правила и таблица производных элементарных функций, что и для вычисления производных функций одной переменной.

Для нахождения частных производных второго порядка необходимы соответствующие производные первого порядка. Если у функции существует частная производная по ,то ее называют частной производной функции второго порядка по . Аналогично для частной производной функции по . Если же у функции ( ) существует частная производная по ( ), то такие производные называются смешанными.

Смешанные производные для функции двух переменных обладают следующим свойством: = . Это равенство можно использовать для проверки правильности нахождения частных производных: если равенство не выполняется, значит, была допущена ошибка.

Экстремумы функции двух переменных

Пусть даны функция , внутренняя   точка  и

  -окрестность данной точки.

Если в некоторой  - окрестности точки выполнено неравенство , то говорят, что данная функция имеет минимум в этой точке. При этом называется точкой минимума, а соответствующее значение функции в этой точке – минимумом.

Аналогично для точки максимума и самого максимума функции двух переменных.

Необходимое условие экстремума:

если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке   , то обе частные производные 1-го порядка в данной точке  равны нулю: 

Точку, удовлетворяющую этим условиям, называют критической, либо стационарной точкой.

Для определения, какой именно точкой (максимума или минимума) является найденная критическая точка, необходимо найти частные производные второго порядка, а именно: .

Если , то функция имеет экстремум в точке 

, причем если , то это минимум, а если - максимум.

Если , то в точке экстремума нет.

Исследование на экстремумы

Для нахождения экстремумов будем пользоваться следующим алгоритмом:

1) Найдем обе частные производные первого порядка;

2) Приравняв их к нулю и решив систему уравнений, найдем критические точки;

3) Найдем частные производные второго порядка;

4) Подставив их в неравенство достаточного условия экстремума, проверим функцию на экстремум.

Исследовать на экстремумы функции:

А)

Следуя алгоритму, получаем , откуда .

Второй шаг:

Очевидно, что , причем , значит, точка - точка минимума данной функции

Б)

Из второго уравнения получаем , но дальше считать не спешим.

Очевидно, что С меньше 0. Определим знак у А:

Таким образом, А и С получились разных знаков, а значит разность никогда не будет положительной, из чего следует, что экстремумов у этой функции нет.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных

• Найдем частные производные первого порядка и приравняем их к нулю. Решив систему уравнений, найдем критические точки. Проверим, подходят ли они под область определения нашей функции;
• Исследуем крайние линии функции и найдем ее значения в критических и крайних точках;
• Из получившихся значений выберем наибольшее и наименьшее.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

, ограниченной линиями

1)

2)

Однако не подходит под область определения.

- решений нет.

Ответ:

Заключение

Благодаря полученным знаниям и проделанной работе, я познакомился с такими понятиями, как функция двух переменных, ее предел и частные производные. А также я научился решать задачи на нахождение экстремумов функции двух переменных и ее наибольшего и наименьшего значений. В дальнейшем, если я встречусь с подобной задачей, то с большой вероятностью смогу решить ее.

Спасибо за внимание