Двугранный угол.

Раздел

Перпендикулярность прямых и плоскостей.

Тема урока

Двугранный угол.

Цель урока

Расширение представления обучающихся об углах через ознакомление с новым понятием – двугранный угол. Создать условия для: формирования представлений о линейном угле двугранного угла; формирования умений распознавать и строить линейный угол; овладения навыками решения геометрических задач на нахождение его величины; развития пространственного мышления; развития умения обобщать и систематизировать теоретические знания, приемы решения задач.

Планируемый результат

Предметные умения

УУД

Личностные

Регулятивные

Коммуникативные

Познавательные

- научиться объяснять, что такое двугранный угол, линейный угол двугранного угла;

- уметь находить линию пересечения плоскостей; - выполнять построение линейного угла;

- уметь вычислять его величину.

- выражают интерес к изучению предметного курса;

- проявляют готовность и способность к саморазвитию;

- имеют мотивацию к обучению и познанию.

- понимают смысл поставленной задачи; - различают способ и результат действия;

- оценивают свою деятельность и деятельность одноклассников.

- выстраивают аргументацию;

- участвуют в диалоге;

- стремятся к координации различных позиций в сотрудничестве;

- работают в команде;

- приводят примеры.

- умеют ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи;

- воспринимают устную речь;

- проводят информационно-смысловой анализ текста;

- ориентируются на разнообразие способов решения задач;

- осмысливают ошибки и устраняют их.

Основные понятия

Двугранный угол, линейный угол двугранного угла.

Межпредметные связи

Математика, черчение, литература.

Ресурсы (оборудование)

Учебник Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев «Геометрия 10-11», мультимедийная презентация, демонстрационный и раздаточный материалы, тетрадь, доска.

Тип урока

урок «открытия» новых знаний.

Организация пространства

Фронтальная работа, работа в парах, индивидуальная работа, самостоятельная работа.

Этапы урока

Задачи этапа

Деятельность

Формируемые УУД

учителя

обучающихся

1.Организацион-ный.

Информировать о подготовке к уроку;

создать деловой, благоприятный психологический настрой на работу на уроке.

Приветствие учащихся. Проверка готовности класса к уроку. Подготовка к уроку, концентрация внимания.

Учитель приветствует обучающихся, цитируя слова А.С. Пушкина: «Вдохновение есть расположение души к живейшему принятию впечатлений и соображению понятий, следственно, и объяснению оных. Вдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии», и организует эмоциональный настрой на урок.

Я желаю вам на уроке творчества и вдохновения, чтобы все задачи сегодня были красивыми и решаемыми.

Приветствуют учителя. Демонстрируют готовность к уроку. Включаются в деловой ритм урока.

Учащиеся объясняют смысл высказывания.

Личностные:

самоопределение.

Регулятивные: уметь ориентироваться в требованиях к уроку математики.

Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.

2. Мотивация (самоопределение) к учебной деятельности

Выработать на индивидуально значимом уровне у ученика внутреннюю готовность к выполнению установленных нормативов.

Организует подводящий к теме урока диалог:

- Давайте вспомним, что мы изучали на прошлых уроках?

- Чтобы продуктивно работать на уроке, давайте проверим уже имеющиеся у нас знания!

Отвечают на вопросы.

Коммуникативные: уметь устно формулировать свои мысли.

Личностные: проявлять учебно - познавательный интерес к новому учебному материалу.

Познавательные: ставят перед собой цель: «Что я хочу получить сегодня от урока».

3. Актуализация опорных знаний.

деятельность;

- глубоко и всесторонне проверить знания обучающихся, выявив причины обнаруженных пробелов.

Учитель организует работу, задает вопросы, повторяя основные теоретические сведения, обращает внимание детей на полные, математически грамотные ответы.

Вспомните, какая фигура называется углом на плоскости?

Что называется углом между прямыми в пространстве?

Классифицируйте углы по градусной мере.

Как называются углы, которые изображены на рисунках.

Что общего на следующих рисунках?

Назовите одним словом. В чем различие?

Обучающиеся отвечают на вопросы учителя.

Углом на плоскости называют фигуру, образованную двумя лучами, исходящими из одной точки.

Т.к. через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, то углом между прямыми в пространстве называют такую же фигуру как и угол на плоскости.

Острые, тупые, прямые,

смежные, вертикальные, вписанные, центральные.

Изображены углы.

Угол между прямыми, скрещивающими прямыми, угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями.

Анализируют представленные на слайде чертежи, делают выводы, планируют свою деятельность.

Дети выстраивают диалог, задавая вопросы самостоятельно друг другу.

Какой угол называется углом между скрещивающимися прямыми? (Если построить прямые, параллельные данным, проходящим через одну точку, то получится угол с соноправленными сторонами, равный данному).

Какой угол называется углом между прямой и плоскостью? (Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней, называется угол между прямой и её проекцией на плоскостью).

Какой угол называется углом между плоскостями? (Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей, не принадлежащими одной плоскости).

Коммуникативные:

формировать коммуникативные действия, направленные на структурирование информации.

Регулятивные: формировать целевые установки учебной деятельности.

Личностные: формировать навыки самоанализа и самоконтроля.

Познавательные: формировать умения находить ответы на поставленные вопросы;

понимать смысл поставленной задачи.

4. Выявление места и причин затруднения.

Учитель предлагает решить задачи по готовым чертежам, используя слайды презентации.

Назовите двугранные углы.

Вспомните основные теоремы, соотношения, которые позволяют находить различные углы?

Учитель следит за речью учащихся.

Можно ли данные теоремы, соотношения использовать для нахождения двугранного угла?

Постановка проблемной ситуации:

Каким образом можно измерить двугранный угол?

Найдите ответ на этот вопрос, работая в парах по учебнику стр. 50 - 51.

Выяснение проблемы в ходе работы и подведение к мысли, что требуется ввести понятие линейного угла данного двугранного угла.

Обучающиеся анализируют чертежи, высказывают свое мнение, обосновывая его.

АВС, А₁АВС, МВСА, В₁ВСА.

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника, теорема синусов, теорема косинусов, теорема о вписанном угле, свойство центрального угла.

Нет.

Обучающиеся работают с учебником, выделяют определение понятия «линейного угла», основополагающие утверждения.

Коммуникативные:

формировать коммуникативные действия, направленные на структурирование информации.

Регулятивные: формировать целевые установки учебной деятельности.

Личностные: формировать навыки самоанализа и самоконтроля.

Познавательные: формировать умения находить ответы на поставленные вопросы;

понимать смысл поставленной задачи.

5. Целеполагание и мотивация.

- направить на достижение цели познавательную деятельность обучающихся;

- постановка задач учебной деятельности;

- проектирование возможных путей и средств достижения поставленной цели.

Молодцы!

Учитель подводит к определению темы урока и цели деятельности обучающихся.

 Какие новые ключевые понятия вы встретили при работе с учебником?

Можно ли не вводить данное понятие?

Тогда попробуем сформулировать тему урока.

Открываем тетради, записываем число, «классная работа» и тему урока.

Проанализируем прочитанный текст, сформулируем ключевые утверждения и сделаем записи в тетради.

Учитель организует работу с записью правила в тетрадь, вносит коррективы в предположения учащихся, дополняет, обобщает и делает выводы.

Градусная мера двугранного угла – это градусная мера его линейного угла.

Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.

Линейным углом двугранного угла называется сечение двугранного угла плоскостью, перпендикулярной ребру.

Сколько линейных углов можно построить в двугранном угле?

Зависит ли размер линейного угла от выбранной точки?

Получение всеми учащимися правильных выводов об измерении двугранного угла и необходимости построения его линейного угла.

Линейный угол.

Нет, без него невозможно найти градусную меру двугранного угла.

Ученики выделяют тему самостоятельно: «Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла». Ставят цели своей деятельности:

ввести понятие двугранного угла;

рассмотреть задачи на применение этих понятий;

сформировать конструктивный навык нахождения угла между плоскостями.

Записывают дату и тему урока,

Делают записи в тетради определения, свойств, правил.

Коммуникативные:

формировать коммуникативные действия, направленные на структурирование информации.

Регулятивные: формировать целевые установки учебной деятельности.

Личностные: формировать навыки анализа, творческой инициативности и активности.

Познавательные: уметь выделять существенную информацию из разной информации.

6. Первичное усвоение новых знаний.

- дать обучающимся конкретное представление об изучаемых фактах;

- добиться от обучающихся восприятия;

- осознания новых знаний;

- усвоения обучающимися способов, путей, средств получения знаний.

Учитель организует работу в группах, используя разноуровневую дифференциацию. Учитель контролирует выполнение задания каждым учащимся.. При необходимости оказывает помощь в построении.

Задание 1 группы: Треугольник АВС, АС=ВС, АВ ϵ α, С ϵ α, СК α. Построить линейный угол двугранного угла САВК

Задание 2 группы: Треугольник АВС, С=90º, АС ϵ α, ВК α, В ϵ α. Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.

Задание 3 группы: Прямоугольник АВСD,

АВ ϵ α, СК α, С,D ϵ α. Построить линейный угол двугранного угла САВК.

Задание 4 группы: Параллелограмм АВСD,

АВ ϵ α, СК α, D,С ϵ α. Построить линейный угол двугранного угла САВК.

Задание 5 группы: Трапеция АВСD, AD и BC основания, АD ϵ α, ВК α, В,С ϵ α. Построить

линейный угол двугранного угла ВАDК.

Обучающиеся определяют алгоритм построения линейного угла.

Способ нахождения (построения) угла:

- найти (увидеть) ребро и грани двугранного угла;

- в гранях найти направления (прямые), перпендикулярные ребру;

(При необходимости: заменить выбранные направления параллельными лучами с общим началом на ребре двугранного угла).

Работа в группах по рядам: (задания подобраны дифференцированно: разного уровня сложности для групп). Работая в группах, обучающиеся выстраивают макет углов на столе с помощью геометрических фигур раздаточного материала, затем выполняют построение в тетрадях,в соответствии с условием задачи.

Коммуникативные:

уметь четко и грамотно выражать свои мысли при обсуждении изучаемого материала, слушать и понимать речь других.

Регулятивные: сознательно организовывать свою познавательную деятельность; выдвигать свои гипотезы на основе учебного материала.

Личностные: формировать интерес к изучаемому содержанию.

Познавательные: уметь строить рассуждения в форме простых суждений об объектах, устанавливать причинно следственные связи.

7. Первичная проверка понимания.

пробелов.

Вернемся к примеру, который предлагался в начале урока.

cos 15^o = cos (45⁰-30⁰) =

= cos45⁰·cos30⁰ + sin 45⁰·sin30⁰ =

=

Учитель предлагает задание:

cos75⁰ = cos(45⁰+30⁰) = cos45⁰·cos30⁰ – sin45⁰·sin30⁰ =

=

Отвечают на вопросы учителя.

Решают задания на доске и в тетради.

Учащиеся проводят самоанализ своей деятельности.

Описывают свои впечатления и действия; формулируют свои затруднения.

Проводят осмысление своей работы.

Коммуникативные: уметь четко и грамотно выражать свои мысли;

строить речевое высказывание в соответствии с поставленными задачами.

Регулятивные: выстраивать алгоритмы деятельности; оценивать учебные действия в соответствии с поставленной задачей.

Личностные: формировать навыки анализа, творческой инициативности и активности.

Познавательные: воспроизводить по памяти информацию, необходимую для решения учебных задач.

8. Первичное закрепление.

- установить, осмыслили ли обучающиеся связи и отношения фактов, содержание новых по­нятий, закономерностей; - устранить обнаруженные пробелы.

Учитель при необходимости помогает, вносит коррективы, дополняет (оценка деятельности учеников – комментарий учителя).

Учитель, обращает внимание учащихся на различный результат построения перпендикуляра, в зависимости от геометрических фигур, образующих двугранный угол.

Отвечают на вопросы учителя.

Представители групп защищают свою презентацию, объясняют построение при данных условиях задачи, делая акцент на взаимосвязи расположения различных геометрических фигур и плоскости. При этом остальные обучающиеся выполняют построения в тетради.

Обучающиеся анализируют и оценивают работу групп по итогам проектной деятельности.

Коммуникативные: уметь четко и грамотно выражать свои мысли;

строить речевое высказывание в соответствии с поставленными задачами.

Регулятивные: удержать цель деятельности до получения ее результата.

Личностные: формировать навыки анализа, творческой инициативности и активности.

Познавательные: формировать умения по использованию математических знаний для решения различных математических задач и оценки полученных результатов.

9. Самостоятельная работа с самоконтролем по эталону.

- проверить степень освоения полученных знаний;

- создается ситуация успеха.

Учитель предлагает самостоятельно решить задачи на нахождение линейного угла по готовым чертежам на слайдах. Самопроверка по шаблону с последующей самооценкой по трёхбалльной системе (1задача – «3», 2 задачи - «4», 3 задачи - «5»).

Ученики, решающие задачи базового уровня экзамена ЕГЭ математика, работают самостоятельно, кратко конспектируя выбор ответа.

Регулятивные: уметь осуществлять контроль и оценивание своих действий по результату и способу действий; определять степень успешности своей работы, вносить коррективы.

Личностные: самоопределение.

10. Включение новых понятий в систему знаний.

- закрепить у обучающихся знания и умения, необходимые для самостоятельной работы по новому материалу.

Учитель предлагает учащимся решить задачу повышенного уровня, что соответствует заданию № 14 профильного уровня ЕГЭ по математике: В тетраэдре АВСD, ребра которого равны 1, найдите угол между плоскостями АВС и ВСD.

Один ученик работает у доски, остальные в тетради, выполняя математически грамотное оформление задачи в соответствии с критериями проверки заданий с развернутым ответом ЕГЭ по математике. Ребята занимаются заданиями творческого уровня по образцу.

Коммуникативные: уметь четко и грамотно выражать свои мысли;

строить речевое высказывание в соответствии с поставленными задачами.

Регулятивные: удержать цель деятельности до получения ее результата.

Личностные: формировать навыки анализа, творческой инициативности и активности.

Познавательные: формировать умения по использованию математических знаний для решения различных математических задач и оценки полученных результатов.

11. Рефлексия учебной деятельности.

- формирование у обучающихся умения анализировать результаты своей учебной деятельности;

- самостоятельная оценка собственной деятельности на уроке.

На слайде представлены три вида двугранного угла: прямой, острый, похожий на крышу, тупой, как раскрытые руки над головой. Сложите руки так, какое положение вам комфортнее всего.

1 – вы готовы на «отлично» отвечать по данной теме;

2 – вы готовы делиться своими знаниями с окружающими ребятами, оказывать помощь;

3 – пока вам комфортнее в закрытом состоянии, вы не уверены в своих знаниях.

Отвечают на вопросы учителя.

Рассказывают, что повторили, узнали, смогли выполнить. Осуществляют самооценку.

Обучающиеся высказывают своё мнение.

Ученики выстраивают угол, складывая руки.

Личностные: самоопределение.

12. Подведение итогов.

- обобщение и систематизация изученного на уроке материала,

- фиксируется степень соответствия поставленной цели и результатов деятельности, и намечаются цели последующей деятельности.

Построение кластера: задан круг вопросов, необходимых для решения задач, связанных с двугранным углом.

Ребята называли основные понятия, свойства, способы построения, знания которых необходимы для успешного решения задач по данной теме.

Регулятивные:

осуществлять самоконтроль.

Коммуникативные:

высказывать свои суждения, доказывать правоту;

аргументировать, формулировать выводы на основе анализа предметного материала.

Познавательные: систематизировать, обобщить изученное;

анализировать, синтезировать и сравнивать информацию.

13. Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению.

- сообщить обучающимся о домашнем задании;

- разъяснить методику его выполнения.

Учитель разъясняет дифференцированное домашнее задание, предлагает учащимся самостоятельно выбрать уровень сложности.

п.22. № 171, № 173,

№ 172 (для повышенного уровня).

И заканчивая урок, хочется сказать вам, ребята, спасибо за творчество на уроке, за вдохновение, с которым вы сегодня работали, вложили частичку себя в наше общее дело.

Обучающиеся просматривают д/з и задают вопросы.

Записывают домашнее задание в дневник.

Личностные:

проявлять творческую активность при решении учебной задачи.

Познавательные: уметь осуществлять выбор наиболее эффективных способах решения задач.