Движения.Центральная симметрия

Мы начинаем знакомство с понятием движение в пространстве.

В курсе планиметрии вы уже познакомились с понятием движения — это такое отображение плоскости, при котором сохраняется расстояние между точками.

А₁О=АО

Говорят, что задано отображение пространства на себя, если каждой точке К пространства поставлена в соответствие некоторая точка К₁, причём любая точка К₁ пространства оказалась поставленной в соответствие какой-либо точке К.

Принято говорить, что при таком отображении точка К отображается (переходит) в точку К₁.

К К₁

Точка К отображается в точку К₁,

а точка К₁ отображается в точку К.

Отметим, что особую роль в геометрии играют отображения пространства на себя, сохраняющее расстояние между точками. Они называются движениями пространства.

Таким образом, если при движении пространства точки А и В переходят (отображаются) в точки А₁ и В₁ ,то АВ=А₁В₁.

Одним из примеров движения служит центральная симметрия — это такое отображение пространства на себя, при котором любая точка К переходит в симметричную ей точку К₁, относительно центра симметрии точки В.

(желательно показать отображение одного яблока в другое)

Пример движения пространства- центральная симметрия.

Центральная симметрия- отображение пространства на себя, при котором любая точка К переходит в симметричную ей точку К₁, относительно центра симметрии.

1. Обозначим буквой О центр симметрии и введём декартову (прямоугольную) систему координат О_xyz с началом в точке О.

2.Найдем связь между точками М(x;y;z) и M₁(x₁;y₁;z₁), которые симметричны относительно точки О.

В случае, если М не совпадает с центром симметрии О, то О является серединой отрезка ММ₁.Тогда по формулам координат середины отрезка найдём:

x+x₁ =0; y +y₁ =0; z +z₁ =0

2 2 2

Откуда:

x=-x_{1 ;} y=-y₁; z=-z₁

Данные формулы верны и в случае, когда М и О совпадают (объясните самостоятельно).

3.Рассмотрим любые две точки: А — с координатами (x₁;y₁;z₁) и В — с координатами (x₂;y₂;z₂) и докажем, что расстояние между точками А₁ и В₁, которые им симметричны, равно АВ.

По доказанному выше, имеем, что точки А₁ и В₁ имеют координаты: А₁ (-x₁;-y₁;-z₁) и В₁ (-x₂;-y₂;-z₂).

По формуле расстояний между двумя точками, найдём:

АВ=√(х₂-х₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)²

A₁B₁=√(-х₂+х₁)²+(-y₂+y₁)²+(-z₂+z₁)²,

Очевидно, что АВ=A₁B₁, то есть расстояние между точками сохранено.

Таким образом, мы доказали, что центральная симметрия является движением.

1. О_xyz -прямоугольная система координат.

2.Точки М(x;y;z) и M₁(x₁;y₁;z₁), симметричны относительно О.

x+x₁ =0; y +y₁ =0; z +z₁ =0→

2 2 2

x=-x_{1 ;} y=-y₁; z=-z₁

Данные формулы верны и в случае, когда М и О совпадают(объясните самостоятельно).

3. А (x₁;y₁;z₁); В (x₂;y₂;z₂)

Симметричные им точки

А₁(-x₁;-y₁;-z₁) и В₁(-x₂;-y₂;-z₂).

АВ=√(х₂-х₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)²

A₁B₁=√(-х₂+х₁)²+(-y₂+y₁)²+(-z₂+z₁)²,

АВ= A₁B₁

Центральная симметрия является движением.

Применим полученные знания при решении задач.

Задача 1.

Доказать, что при центральной симметрии прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую.

1. Рассмотрим центральную симметрию пространства с центром в точке О и произвольную прямую АВ, не проходящую через эту точку.

Прямая АВ и точка О определяют единственную плоскость α. Точки А и В отображаются при центральной симметрии в точки А₁ и В₁, которые так же лежат в плоскости α. А значит, и вся прямая А₁ В₁ лежит в плоскости α.

2. Докажем, что прямые АВ и А₁В₁ параллельны.

Так как симметрия центральная, то ОА=ОА₁, ОВ=ОВ₁, угол АОВ равен углу А₁ОВ₁ — как вертикальные, значит треугольник АОВ равен треугольнику А₁ОВ₁ по первому признаку равенства треугольников.

Из равенства треугольников следует, что угол АВО равен углу А₁В₁О, то есть равны накрест лежащие углы при пересечении прямых АВ и А₁В₁ секущей ВВ₁, следовательно прямые АВ и А₁В₁ параллельны.

3. Докажем теперь, что при центральной симметрии с центром в точке О прямая АВ отображается на прямую А₁В₁. Для этого нужно доказать, что произвольная точка М прямой АВ переходит в некоторую точку М₁ прямой А₁В₁ и наоборот: произвольная точка прямой А₁В₁ симметрична некоторой точке прямой АВ.

Возьмём на прямой АВ какую-либо точку М, отличную от А, и проведём прямую МО. Эта прямая пересечёт прямую А₁В₁ в какой-то точке М₁.

Симметрия центральная, значит АО=ОА₁; угол МОА равен углу М₁ОА_1, как вертикальные; угол МАО равен углу М₁А₁О, как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и А₁В₁ и секущей ВВ₁. Значит, треугольники МАО и М₁А₁О равны по второму признаку равенства треугольников. Из равенства треугольников следует, что отрезки МО и ОМ₁ равны, а это значит, что точка М переходит в точку М₁ , лежащую на прямой А₁В₁ при симметрии относительно точки О.

Аналогично доказывается обратное: любая точка М₁ прямой А₁В₁ симметрична некоторой точке М прямой АВ относительно точки О.

Итак, при симметрии с центром О прямая, не проходящая через точку О, отображается на параллельную прямую.

1. Центральная симметрия с центром в точке О.

АВ→ А₁В₁

А₁В₁ принадлежит плоскости α.

2. ОА=ОА₁, ОВ=ОВ₁, ₁ОВ→

Δ АОВ=Δ А₁ОВ₁(по I пр. рав-ва тр-ков) →

₁В₁О(накрест лежащие при прямых АВ и А₁В₁ секущей ВВ)→ АВ ║ А₁В₁

3.Д.п.

М принадлежит АВ, М≠А.

МО.

МО_ А₁В₁= М₁

АО=ОА₁, ₁ОА₁

( вертикальные); ₁А₁О

(накрест лежащие)→

Δ МАО= ΔМ₁А₁О(поII пр-ку рав-ва тр-ков)→ МО = ОМ₁

М→ М₁ при симметрии относительно точки О.

М₁→ М при симметрии относительно точки О.

При симметрии с центром О прямая, не проходящая через точку О, отображается на параллельную прямую.

Сегодня мы показали, что отображение пространства на себя, сохраняющее расстояние между точками, является движением, а так же убедились, что при движении отрезок переходит в равный ему отрезок, прямая — в прямую, плоскость — в плоскость. Примером этому служит центральная симметрия.