Доклад "Многогранники" для учителей ВМО Комратского спортивного регионального лицея -интерната

Обозначения:

V — объем;
S_полн — площадь полной поверхности;
S_бок — площадь боковой поверхности; 
S_о — площадь основания;
P_о — периметр основания;
P_о — периметр перпендикулярного сечения;
l — длина ребра;
h — высота.

Многогранник или полиэдр — обычно замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, но иногда так же называют тело, ограниченное этой поверхностью.

Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.

Для выпуклого многогранника верна теорема Эйлера В + Г − Р = 2, где В — количество вершин многогранника, Г — количество граней, Р — количество рёбер

Некоторые факты из истории многогранников:

1. Многогранники известны еще задолго до Платона. Историками, археологами были найдены фигурки созданный древними, в которых четко прослеживаются формы правильных многогранников. Кроме того подобные фигуры часто выступали элементами древних архитектурных строениях.

2. Считается, что многогранники (уже с точки зрения геометрии) были открыты Пифагором. Однако по другим источникам ему принадлежит заслуга открытия лишь трех многогранников, а именно тетраэдра, гексаэдра и додекаэдра. Что же касается октаэдра и икосаэдра, их открытие приписывают древнегреческому математику Теэтету Афинскому.

3. Многогранники так же называются «Платоновыми телами» потому, что в свое время Платон в одной из своих работ сопоставил многогранники с ч етырьмя природными стихиями. Каждому многограннику соответствовала своя стихия: тетраэдру – огонь, гексаэдру (кубу) – земля, октаэдру – воздух, икосаэдру – вода.

4. Полное описание многогранников с точки зрения математики и геометрии дал в одном из своих трудов Евклид.

5. Во времена известного математика Иоганна Кеплера было известно лишь пять планет Солнечной системы. Так как это число совпадала с числом существующих многогранников, которых так же 5, он пытался найти соответствие между ними и планетами.

Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от двухлетнего ребёнка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика. Особый интерес к правильным многоугольникам и правильным многогранникам связан с красотой и совершенством формы. Они довольно часто встречаются в природе. Достаточно вспомнить форму снежинок, граней кристаллов, ячеек в пчелиных сотах. Из правильных многоугольников можно складывать не только плоские фигуры, но и пространственные.

Древними греками исследовались также и многие геометрические свойства платоновых тел; (с плодами их изысканий можно ознакомиться по 13-й книге НачалЕвклида ((см. также ГЕОМЕТРИЯ)). Изучение платоновых тел и связанных с ними фигур продолжается и поныне. И хотя основными мотивами современных исследований служат красота и симметрия, они имеют также и некоторое научное значение, особенно в кристаллографии. Кристаллы поваренной соли, тиоантимонида натрия и хромовых квасцов встречаются в природе в виде куба, тетраэдра и октаэдра соответственно. Икосаэдр и додекаэдр среди кристаллических форм не встречаются, но их можно наблюдать среди форм микроскопических морских организмов, известных под названием радиолярий.

Звёздчатый многогранник — это правильный невыпуклый многогранник. Многогранники из-за их необычных свойствсимметрии исследуются с древнейших времён. Также формы многогранников широко используются в декоративном искусстве.

Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Применяются они и в архитектуре. Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинка — это звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок. Есть много видов звёздчатых многогранников.

Тетраэдр (от греческого tetra – четыре и hedra – грань)

Простейшим многогранником является Тетраэдр. Здесь нам потребуется продолжить не рёбра, а грани многогранника. Однако четыре плоскости — продолжения граней тетраэдра — ограничивают лишь ту часть трёхмерного пространства, которая совпадает с исходным телом. Шесть плоскостей куба попарно параллельны и взаимно перпендикулярны, подобно сторонам двумерного аналога куба — квадрата. Поэтому и в трёхмерном случае к кубу не добавляется новых частей. Но уже случай октаэдра даёт интересные результаты. Восемь плоскостей — продолжения граней октаэдра — отделяют от пространства новые части, так сказать, «отсеки», внешние по отношению к октаэдру. Вы обнаружите, что эти части суть не что иное, как малые тетраэдры, основания которых совпадают с гранями октаэдра. Если вы теперь мысленно присоедините эти части к октаэдру таким образом, чтобы их общие с октаэдром грани исчезли, оставив нутро нового тела полым, перед вашим взором возникнет невыпуклый многогранник.

Звёздчатый октаэдр(от греческого octo – восемь и hedra – грань)

Был открыт Леонардо Да Винчи, затем спустя почти 100 лет переоткрыт И.Кеплером, и назван им «Stella octangula» – звезда восьмиугольная. Отсюда октаэдр имеет и второе название «stella octangula Кеплера».

Октаэдр имеет 6 вершин и 12 рёбер. На примере октаэдра можно проверить формулу Эйлера 6в+8г-12р=2. В каждой вершине сходятся 4 треугольника, таким образом, сумма плоских углов при вершине октаэдра составляет 240 °.Из определения правильного многогранника следует, что все ребра октаэдра имеют равную длину, а грани — равную площадь.

Кристаллы алмаза представляют собой гигантские полимерные молекулы и обычно имеют форму октаэдров

Большой звёздчатый додекаэдр

Большой звездчатый додекаэдр принадлежит к семейству тел Кеплера-Пуансо, то есть правильных невыпуклых многогранников. Грани большого звездчатого додекаэдра – пентаграммы, как и у малого звездчатого додекаэдра. У каждой вершины соединяются три грани. Вершины большого звездчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра.Большой звездчатый додекаэдр был впервые описан Кеплером в 1619 г. Это последняя звездчатая форма правильного додекаэдра.

Правильный многогранник, составленный из 12 равносторонних пятиугольников. Додекаэдр имеет 20 вершин и 30 ребер. Вершина додекаэдра является вершиной трех пятиугольников, таким образом, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°.

Формула Эйлера

N − L + F = 2

N — число вершин, L — число ребер, F — число граней выпуклого многогранника.

Призма — многранник, две грани которого — равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, а остальные — параллелограммы.

 Параллелепипед — призма, основание которой — параллелограмм. 
Параллелепипед имеет шесть граней и все они — параллелограммы.

 Пирамида — многранник, у которого одна грань n-угольник — основание пирамиды, а остальные боковые грани — треугольники с общей вершиной — вершиной пирамиды.

где k — апофема

Если в пирамиде провести сечение параллельное основанию, то тело, ограниченное этим сечением, основанием, и заключенной между ними боковой поверхностью пирамиды, называетсяусеченной пирамидой.

где S₁ и S₂ — площади оснований

где α — двугранный угол при ребре нижнего основания.

Многогранник называется правильным, если все его грани — равные правильные многоугольники, а все многогранные углы имеют одинаковое число граней.

Все ребра правильного многогранника — равные отрезки, все плоские углы правильного многогранника также равны.

Существует пять различных правильных многогранников (выпуклых): правильный четырехгранник (правильный тетраэдр), правильный шестигранник (куб), правильный восьмигранник (правильный октаэдр), правильный двенадцатигранник (правильный додекаэдр), правильный двадцатигранник (правильный икосаэдр).

Обозначения: 
а — длина ребра; 
V — объем;
S_бок — площадь боковой поверхности;
S_полн — площадь полной поверхности;
R — радиус описанной сферы; 
r — радиус вписанной сферы; 
h — высота.
Куб — шесть граней — равные квадраты. Куб имеет восемь вершин и двенадцать ребер.

Октаэдр — восемь граней — равносторонние равные треугольники. Октаэдр имеет шесть вершин и двенадцать ребер

 Додекаэдр — двенадцать граней — правильные равные пятиугольники. Додекаэдр имеет двадцать вершин и тридцать ребер.

Икосаэдр — двадцать граней — равносторонние равные треугольники. Икосаэдр имеет двенадцать вершин и тридцать ребер.

7