Дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Теоретические сведения:

Опр. Уравнение вида , (1) где p и q – постоянные величины, называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Чтобы решить уравнение (1) нужно решить характеристическое уравнение (2).

При решении характеристического уравнения (2) возможны 3 случая:

1. Корни характеристического уравнения различны: . В этом случае имеем два частных решения уравнения (1)

и , следовательно, общее решение уравнения (1) будет иметь вид: .

2) Корни характеристического уравнения равны: . В этом случае частное решение уравнения (1)

и , следовательно, общее решение уравнения (1) будет иметь вид: .

1. Корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные : , то частное решение уравнения (1) имеет вид и , а общее решение уравнения (1)

Пример 1. Найти частное решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям и

Решение. Составляем характеристическое уравнение и находим его корни: D=-16 Следовательно, общим решением является функция

Дифференцируя общее решение, найдем

или

Постоянные С₁ и С₂ находим из начальных условий:

Отсюда и .

Итак, искомым частным решением является функция

Ответ:

Пример 2. Найти частное решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям и

Решение. Составляем характеристическое уравнение и находим его корни: D=10, тогда Следовательно, общим решением является функция

Дифференцируя общее решение, найдем

Постоянные С₁ и С₂ находим из начальных условий:

или

Отсюда и .

Итак, искомым частным решением является функция

Ответ:

Задачи для самостоятельного выполнения

Задание. Найти решение задачи Коши.