Делимость многочленов - сборник задач

`

3 часть. Теорема Безу.

Теорема Безу.Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен х-а равен значению этого многочлена при х=а: Р(а)=R.

Следствие №1. Если х=а – корень уравнения Р_п(х)=0, то R=0 и многочлен Р_п(х) делится нацело на двучлен х-а.

Следствие №2. Если многочлен Р_п(х) делится нацело на двучлен х-а, то х=а – корень уравнения Р_п(х)=0.

Образец. Выяснить, делится ли нацело многочлен Р(х)=х¹⁰⁰+3х⁷⁹+х⁴⁸-х²⁷ на х+1.

Решение.

Остаток от деления Р(х) на х+1 равен Р(-1)=(-1)¹⁰⁰+3·(-1)⁷⁹+(-1)⁴⁸-(-1)²⁷ =1-3+1+1=0.

Ответ: многочлен Р(х) нацело делится на х+1

Задачи для самостоятельного решения

1. Проверьте, делится ли многочлен на .

2. Найти корни многочлена по схеме Горнера:  f (x) =  x ³ + 2 x ² – 5 x – 6.

Разложить на множители многочлены:

1. 2x³+7x²-28x+12;

2. х⁴+3х³-5х²-6х-8;

3. х⁴-х³-7х²+13х-62;

4. х³-21х²+37х+24.

1.Решите уравнение: х⁴+2х³-13х²-38х-4=0

2.Решите уравнение: х³-2х²+4х-8=0

3.Найдите корень уравнения x⁴−4x³−16x²+64x=0. Если корней несколько, в ответе укажите их произведение.

4. Решить уравнение:  

Образцы решения задач

Пример 2п² -11п+13

При каких натуральных значениях п

п-3

выражение является целым числом?

Решение.

Разделим числитель дроби на знаменатель с остатком:

_2п2-11п+13 п-3

2п2-6п 2п-5

_-5п+13

-5п+15

-2

2

Таким об., исходное выражение равно 2п-5 - , что

п-3

является целым числом тогда и только тогда, когда 2

нацело делится на п-3 . поскольку целыми делителями

числа 2 являются числа -2,

-1, 1, 2 и только они, получаем п=1, 2, 4, 5.

Ответ: п=1, 2, 4, 5.

Телефон: (Тел.93-1-84

2п² -11п+13

При каких натуральных значениях п выражение

п-3

является целым числом?

Решение.

Разделим числитель дроби на знаменатель с остатком:

_2п2-11п+13 п-3

2п2-6п 2п-5

_-5п+13

-5п+15

-2

2

Таким образом, исходное выражение равно 2п-5- , что

п-3

является целым числом тогда и только тогда, когда 2

нацело делится на п-3 . поскольку целыми делителями

числа 2 являются числа -2,

-1, 1, 2 и только они, получаем п=1, 2, 4, 5.

Ответ: п=1, 2, 4, 5.

Выполните деление с остатком

   на х - 1;

на х² - х + 1;

3. х ⁴– 3х² + 1 на х – 2;

4. х ⁴ + х + 1 на х³ + 1;

5. х⁵ – 6х³ + 2х² – 4 на

х² – х + 1;

6. х ⁴ + х² + 1 на х + 5;

7. х⁷ – 1 на х³ + х + 1;

8. х⁴ – 64 на х – 3 .

8. х⁴ – 64 на х – 3 .

Разложите на множители с целыми коэффициентами:

а) х ³ -2х ² -5х +6;

б) 2х ³ + 5х ² + 5х -2;

в) х ³ - 3х ² + х + 1;

г) х ³ - 2х - 1;

д) х ⁴ + 4х ³ – 25х ² –16х +8.

Золотая пропорция в строении бронхов и легких человека

• Было установлено, что в строении легких человека также существует золотое сечение.

• Особенность бронхов, составляющих легкие человека, заключена в их симметричности.

• Бронхи состоят из двух основных дыхательных путей, один из которых (левый) длиннее, а другой (правый) короче.

• Было установлено, что эта асимметричность продолжается и в ответвлениях бронхов, во всех более мелких дыхательных путях. Причем соотношение длины коротких и длинных бронхов также составляет золотое сечение и равно 1:1,618.

Сердце

• Сердце бьется непрерывно и равномерно - от рождения человека до его смерти - около 60 ударов в минуту в состоянии покоя.

• В артериях во время сжатия желудочков сердца кровяное давление достигает максимальной величины, равной 115-125 мм.

• Отношение максимального (систолического) к минимальному (диастолическому) давлению равно в среднем 1,6, то есть близко к золотой пропорции.

Черты лица человека

и золотое сечение

• В строении черт лица человека также есть множество примеров, приближающихся по значению к формуле золотого сечения.

• К примеру, если мы суммируем  ширину двух передних верхних зубов и разделим эту сумму на высоту зубов, то, получив при этом число золотого сечения.