Практическое занятие
Тема: «Математический анализ».
Наименование работы: «Вычисление пределов функций».
Цель: сформировать умение находить пределы функций, используя теорию пределов.
Содержание
Часть 1. Теоретическая
Число А называют пределом функции f(x) при (и пишут ), если для любого найдется число зависящее от , такое, что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство
Теоремы о пределах:
1. (c=const).
2. Если то:
Первый замечательный предел:
Второй замечательный предел (число е = 2,718…):
или
Замечательные пределы:
Примеры решения:
Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения
1) деление на х в старшей степени:
Пример 1:
Сначала мы смотрим на числитель и находим в старшей степени:
Старшая степень в числителе равна двум.
Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени:
Старшая степень знаменателя равна двум.
Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.
Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени.
Разделим числитель и знаменатель на
П ример:
Найти предел
Снова в числителе и знаменателе находим в старшей степени:
Максимальная степень в числителе: 3
Максимальная степень в знаменателе: 4
Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку.
Разделим числитель и знаменатель на
П ример:
Найти предел
Разделим числитель и знаменатель на
при раскрытии неопределенности вида у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения
1) Разложение числителя и знаменателя на множители.
Пример :
Разложим числитель и знаменатель на множители
Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:
Сначала находим дискриминант:
И квадратный корень из него: Далее находим корни: Таким образом:
Всё. Числитель на множители разложен.
Знаменатель. Знаменатель уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.
можно сократить на :
Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:
2) Умножение числителя и знаменателя на сопряженное выражение.
П ример:
Найти предел
Умножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение:
Применяем вверху формулу : Неопределенность не пропала (попробуйте подставить тройку), да и корни тоже не исчезли. Но с суммой корней всё значительно проще, ее можно превратить в постоянное число. Как это сделать? Да просто подставить тройку под корни:
Число, как уже отмечалось ранее, лучше вынести за значок предела.
Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители и сократить «виновников» неопределённости, ну а предел константы – равен самой константе:
Решение данного примера в чистовом варианте выглядит так:
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
3) Использование 1-го замечательного предела
П ример:
Найти предел
Выражение под знаком предела похоже на первый замечательный предел, но это не совсем он, под синусом находится , а в знаменателе .В подобных случаях первый замечательный предел нам нужно организовать самостоятельно, используя искусственный прием. Ход рассуждений может быть таким: «под синусом 7х, значит, в знаменателе тоже нужно получить 7х».
А делается это очень просто:
Пример:
Найти предел
Пример:
Найти предел
Пример:
Найти предел
Пример:
Найти предел
Второй замечательный предел В теории математического анализа доказано, что:
Данный факт носит название второго замечательного предела.
Справка: – это иррациональное число.
В качестве параметра может выступать не только переменная , но и сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к бесконечности.
Пример:
Найти предел
Данная неопределенность как раз и раскрывается с помощью второго замечательного предела. Но, как часто бывает, второй замечательный предел нужно искусственно организовать. Рассуждать можно следующим образом: в данном примере параметр , значит, в показателе тоже нужно организовать . Для этого возводим основание в степень , и, чтобы выражение не изменилось – возводим в степень :
страшная степень превратилась в симпатичную букву :
При этом сам значок предела перемещаем в показатель:
Часть 2. Практическая
Задание: Вычислите пределы.
№ | Задание | № | Задание |
1 | а) , б) , в) , г) | 6 | а) , б) , в) , г) |
2 | а) , б) , в) , г) | 7 | а) , б) , в) , г) |
3 | а) б) , в) , г) | 8 | а) , б) , в) , г) |
4 | а) , б) , в) , г) | 9 | а) , б) , в) , |
5 | а) , б) , в) , г) | 10 | а) , б) , в) , г) |
Вопросы к практическому занятию
Что называется пределом функции?
Перечислите теоремы о пределах.
Какая функция называется бесконечно большой?
Какая функция называется бесконечно малой?
Сформулируйте теорему о существовании предела функции в точке.
Перечислите основные технические приемы при вычислении пределов.
Назовите формулы двух «замечательных» пределов.