"Что не так?" игра по математике 9 класс, презентация

Математические софизмы

- (от– уловка, ухищрение, выдумка, головоломка),

«Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях.»

Н. И. Лобачевский

ТИПИЧНЫЕ ОШИБКИ ПРИ РЕШЕНИИ СОФИЗМОВ

• Запрещенные действия;
• пренебрежение условиями теорем; формул и правил;
• ошибочный чертеж;
• опора на ошибочные умозаключения .

Классификация софизмов по темам математического цикла

Алгебраические софизмы

Математические

Геометрические софизмы

1. софизм: «4рубля=40000копеек»

4рубля=40000копеек.

Но мы все знаем, что 4 рубля=400копеек. Будем рассуждать.

Возьмем верное равенство: 2рубля=200копеек и возведем его обе части в квадрат

2∙2 рубля = 200∙200 копеек,  получим 4 рубля = 40000 копеек.. 

В чем ошибка?

Нельзя умножать разные единицы измерения!

Разбор софизма .

Единица измерения, возведённая в квадрат не тождественна исходной единице измерения. У рубля, возведённого в квадрат, нет очевидного смысла, в квадрат возводятся только числа.

Возведение левой части в квадрат это по сути умножение на это же число (т. е. на 2 ) соответственно вторую часть нужно домножить на это же число!

2 Софизм   «Пять равно шести»

    Возьмем тождество 

35+10-45=42+12-54.

    В  каждой  части вынесем за скобки общий множитель:   

5(7+2-9)=6(7+2-9).

    Теперь, получим, что 5=6.

  Где ошибка?

Нельзя делить на число, равное нулю!

Разбор софизма .

    Ошибка допущена при делении верного равенства 5(7+2-9)=6(7+2-9) 

на число   7+2-9, равное нулю. 

Этого  делать нельзя!

    Любое равенство можно делить только на число, отличное от нуля.

3. софизм: «Дважды два - пять»

  Всем с начальной школы известно, что дважды два- четыре.

Найдите ошибку в следующих рассуждениях.

Имеем верное числовое равенство: 4:4 = 5:5. Вынесем за скобки в каждой части общий множитель. Получим: 4(1:1) = 5(1:1).  Числа в скобках равны, поэтому 4 = 5 или 2·2 = 5

Где ошибка?

Нельзя выносить множитель за скобки, как это сделано в равенстве!

4 Софизм « Единица равна минус единице »

Пусть число x равно 1 . Тогда можно записать, что

x 2 =1 , или x 2 – 1= 0 , раскладывая x 2 - 1 по формуле разности квадратов, получим

(x+1)(x - 1)=0.

Разделив обе части этого равенства на x-1 , имеем

х+1=0 и х= -1.

Поскольку по условию х=1 , то отсюда приходим к равенству

1= -1

В чем ошибка?

Здесь ошибка совершена при переходе от равенства (x+1)(x - 1)=0 к равенству

х+1=0 и х = -1. Действительно, этот переход совершен посредством деления на величину x – 1, которая по исходному условию равна нулю, а , как известно, деление на нуль запрещено.

Равенство (x+1)(x - 1)=0, в силу того что x – 1 = 0, можно записать в виде равенства (x + 1)•0= 0, которое выполняется при любом значении x+1. Поэтому вывод о том, что x = -1, неправомерен .

5 софизм «Всякое число равно своему удвоенному значению»

Запишем очевидное для любого числа а тождество

а 2 – а 2 =а 2 – а 2 .

Вынесем а в левой части за скобку, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получив

а(а – а)=(а + а)(а - а).

Разделив обе части на (а - а) , получим а = а + а , или

а = 2а.

Итак, всякое число равно своему удвоенному значению.

Почему равенство неверно?

Ошибка совершена при переходе от равенства а(а – а)=(а + а)(а - а) к равенству a = 2a. В самом деле, число a – a, на которое делится первое равенство, равно нулю. Поэтому это равенство можно записать в виде a•0 = (a + a)•0, откуда, очевидно, следует, что число a слева и число a + a справа могут принимать любые, отнюдь не равные друг другу значения.

Деление же обеих частей этого равенства на равное нулю число a – a приводит к бессмыслице.

6 софизм «Все числа равны между собой»

Возьмем два произвольных неравных между собой числа а и b и запишем для них очевидное тождество

a 2 – 2ab + b 2 = b 2 – 2ab + a 2 .

Слева и справа стоят полные квадраты, т.е. можем записать

(a– b )2=( b – a )2.

Извлекая из обеих частей последнего равенства квадратный корень, получим

a – b = b – a

или 2a = 2b , или окончательно

a = b.

=0, тогда, очевидно, b -a a – b 0,откуда следует, что - (a - b) = b – a, или a = a. " width="640"

Исходное тождество и равенство (a– b )2=( b – a )2.

вполне справедливы. Но при переходе от этого равенства к равенству a – b = b – a была совершена ошибка. А именно: извлечение корня из обеих частей первого равенства сделано неправильно. В действительности же вместо равенства a – b = b – a из первого равенства должно следовать: |a - b|=|b - a|, которое вытекает из данных соотношений. Здесь необходимо рассмотреть два случая:

• a – b =0, тогда, очевидно, b -a
• a – b 0,откуда следует, что - (a - b) = b – a, или a = a.

7 софизм «Пропавшая линия»

Начертите на прямоугольном листе бумаги 10 линий одинаковой длины и проведите диагональ (как на рисунке). Разрежьте прямоугольник по диагонали и сдвиньте нижнюю часть влево вниз. Сосчитайте линии, их стало 9. Что случилось?

Куда делась линия?

Никакая линия после передвижения не исчезает и не появляется. Происходит следующее: восемь из десяти вертикальных линий разрезаются на два отрезка, и полученные шестнадцать отрезков «перераспределяются», образуя (вместе с двумя незатронутыми вертикальными линиями) девять линий, каждая из которых чуточку длиннее первоначальных. Так как приращение длины каждой линии невелико, оно не сразу обнаруживается и на глаз незаметно. В действительности же суммарная величина этих приращений в точности равна длине каждой из первоначальных линий.   Так что исчезновение 10-й палочки только на первый взгляд кажется загадочным.

8 софизм «Исчезновение лица»

При сдвиге нижней полосы на верхней части рисунка влево все шляпы остаются незатронутыми, однако одно лицо полностью исчезает. Объясни куда?

  При сдвиге четыре лица разделяются на две части. Эти части затем перераспреде­ляются, причем каждое лицо получает несколько добавочных черт: одно, например, более длинный нос, другое — более вытянутый подбородок и т. д. Однако эти маленькие перераспределения остроумно скрыты, а исчезновение всего лица, конечно, поражает гораздо сильнее, чем исчезновение кусочка линии.

9 софизм «Лишний кусок шоколада?»

Шоколад ниоткуда не появляется и никуда не исчезает, лишь только переходит из узкой формы в кусочек. А сокращение на 1/5 дольки шоколада никто не заметит.

• О, сколько нам открытий чудных
• Готовит просвещенья дух,
• И опыт – сын ошибок трудных,
• И гений – парадоксов друг!

• А.С.Пушкин.

«Парадокс кучи»

Два приятеля однажды вели такой разговор.

- Видишь кучу песка? - спросил первый.

- Я-то её вижу, - ответил второй, - но её нет на самом деле.

- Почему? - удивился первый.

- Очень просто, - ответил второй. -

  Давай рассудим: одна песчинка, очевидно, не образует кучи песка. Если n песчинок не могут образовать кучи песка, то и после прибавления ещё одной песчинки они по-прежнему не могут образовать кучи. Следовательно, никакое число песчинок не образует кучи, т. е. кучи песка нет.

Парадокс!

3. http://rcio.pnzgu.ru/personal/99/1/5/

Для тех, кто хочет разобраться в софизмах и парадоксах

1.http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%85%D0%B8%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D1%81_%D0%B8_%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BF%D0%B0%D1%85%D0%B0

2.http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BE%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%BC