СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Числовая последовательность. Пределы последовательностей и функций.

Категория: Математика

Нажмите, чтобы узнать подробности

Просмотр содержимого документа
«Числовая последовательность. Пределы последовательностей и функций.»

Лекция № 4

Тема: Числовая последовательность. Пределы функций.



План:

  1. Числовая последовательность.

  2. Пределы функций и последовательности.

  3. Числовые ряды. Сходимость и расходимость рядов. Признак Даламбера.



1.Числовая последовательность:



Определение: Если каждому числу n из натурального ряда чисел

1,2,3,4,…,n,…

поставлено в соответствие вещественное число х , то множество вещественных чисел

х , х , х , х , …, х ,…

называется числовой последовательностью.

Числа х , х , х , х , …, х ,… будем называть элементами ( или членами ) последовательности, символ х - общим элементом последовательности, а число n – его номером. Сокращено последовательность обозначают символом {x }. Так, например, символ { } обозначает последовательность 1,

Последовательность считается заданной, если указан способ получения любого ее элемента.

Числовая последовательность – частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.



Определение: Последовательность {y } называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:



y



Определение: Последовательность {y } называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:



y y y … y y … .



Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.

Арифметические действия над числовыми последовательностями:

Пусть даны последовательности {x } и {y }.

  • Произведением последовательности {x } на число m назовем последовательность

mx , mx , …mx ,...;

  • Суммой данных последовательностей назовем последовательность х + у , х + у , …, х + у ,…;

  • Разностью – последовательность х - у , х - у , …, х ,…;

  • Произведением - последовательность х у , х у , …, х у ,…;

  • Частным – последовательность если у 0

Ограниченные и неограниченные последовательности:

  • Ограниченная сверху последовательность — это последовательность элементов множества X, все члены которой не превышают некоторого элемента из этого множества. Этот элемент называется верхней гранью данной последовательности.

(x ) ограниченная сверху

  • Ограниченная снизу последовательность — это последовательность элементов множества X, для которой в этом множестве найдётся элемент, не превышающий всех её членов. Этот элемент называется нижней гранью данной последовательности.

(x ) ограниченная снизу

  • Ограниченная последовательность (ограниченная с обеих сторон последовательность) — это последовательность, ограниченная и сверху, и снизу.

(x ) ограниченная

  • Неограниченная последовательность — это последовательность, которая не является ограниченной.

(x ) неограниченная



Сходящаяся последовательность — это последовательность элементов множества X, имеющая предел в этом множестве.

Расходящаяся последовательность — это последовательность, не являющаяся сходящейся.

Бесконечно малая последовательность — это последовательность, предел которой равен нулю.

Бесконечно большая последовательность — это последовательность, предел которой равен бесконечности.



2. Пределы функций и последовательности:



Предел, одно из основных понятий математики. Предел — постоянная, к которой неограниченно приближается некоторая переменная величина, зависящая от другой переменной величины, при определённом изменении последней. Простейшим понятием является предел числовой последовательности, с помощью которого могут быть определены понятия предел функции, предел последовательности точек пространства, предел интегральных сумм.

Предел функции является обобщением понятия предела последовательности.



Определение: Число а называется пределом последовательности {x }, если для любого положительного числа существует номер N такой, что n N выполняется неравенство

Предел обозначается Lim или х при n .

Определение: Значение А называется пределом (предельным значением) функции f(x) в точке х , если





Свойства пределов:



  • Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

  • Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

  • Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела:

  • Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций (при условии, что последние существуют):

  • Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

  • Предел степенной функции:



  • Если f ( x ) = x, то



  • Предел показательной функции:где основание a где основание a 0.



  • Предел логарифмической функции:



  • Предположим, что для всех x близких к для всех x близких кa, за исключением, быть может, самой



точки x = a. Тогда, если т то















Замеча́тельные преде́лы:



Первый замечательный предел:





Следствия:













Второй замечательный предел:





Следствия:

















3.Числовые ряды. Сходимость и расходимость рядов. Признак Даламбера.



Пусть задана бесконечная последовательность вещественных чисел , , ,…



Построим последовательность





и рассмотрим предел этой последовательности



Он называется числовым рядом, или просто рядом. Если этот предел существует и конечен, то говорят, что ряд сходится, или, что ряд существует. Если этот предел равен бесконечности или вообще не существует, то говорят, что ряд расходится, или, что ряд не существует.

Величины An называются частными суммами ряда. Слагаемое называется общим членом ряда.



Простейшие свойства сходящихся рядов:



  • Е сли ряд сходится, то сходится любой из его остатков. Наоборот, из сходимости какого-то остатка вытекает сходимость всего ряда. Отсюда следует, что изменение или выбрасывание конечного числа членов ряда не изменяет его сходимости или расходимости.

  • Е сли рядсходится, то



  • Если ряд сходится, то сходится ряд и имеет место равенство





  • Если ряды и сходятся, то сходится и ряд имеет место



равенство



Признак Даламбера:





Пусть существует





Тогда, если D‹ 1, то ряд сходится







Е сли D›1, то ряд расходится

6



Скачать

Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей

Вебинар для учителей

Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!