Блочная зачетная работа по математике

Елисеева И.В. 7 класс

Зачетная работа математических сборов.

Елисеева И.В. «Академический лицей»

Зачёт – общее описание

1. Оценки ставятся по условной десятибалльной шкале, а затем переводятся в традиционную пятибалльную шкалу по такому правилу:

   Усл. оценка	Оценка зачета	Усл. оценка	Оценка зачета
   1	2	6	4
   2	3-	7	4+
   3	3	8	5-
   4	3+	9	5
   5	4-	10	5+

2. Все учащиеся, как правило, начинают с условной оценки 1. Отличившиеся на занятиях начинают с более высоких оценок.

3. Билет состоит из двух теоретических вопросов и трёх задач. Задачи относятся к различным пройденным темам и имеют разную сложность. На сдачу билета отводится не более 150 минут. И задачи, и теория сдаются устно, причем на сдачу каждой задачи дается не более трех попыток.

4. Сдача билета начинается с ответа на теоретические вопросы. Если ученик не ответил (или плохо ответил) на теоретический вопрос, то этот вопрос заменяется другим и добавляется еще 30 минут, однако «потолком» зачетной условной оценки после этого становится не 10, а 7. Если же ученик не ответил и на замененный вопрос, «потолок» оценки для него будет равен 5. Повторная замена теоретического вопроса, а также замена двух теоретических вопросов не предусматривается.

5. Каждая решенная задача, а также сданный теоретический вопрос прибавляют к условной оценке 1.

6. После сдачи билета зачет считается законченным для тех, кто решил не более одной задачи или достиг своего потолка. При этом они получают ту оценку, которую достигли (например, если решена одна задача и дан ответ на один теоретический вопрос, ученик, начавший с 1, получает условную оценку 3, а если была решена только задача, то такой ученик получает условную оценку 2).

7. Остальные продолжают зачёт дальше. Те, кто решил две задачи билета, называются «ходоками», а решившие три задачи называются «бегунами». И «ходоки», и «бегуны» продолжают зачетную дистанцию до тех пор, пока им удается решать задачи, и они еще не достигли своего потолка.

8. Решение задачи «бегуном» прибавляет к его оценке 2, а «ходоком» – 1. Нерешенная задача для «бегуна» переводит его в «ходока», а задача, не решенная «ходоком», прекращает для него зачёт на той оценке, которой он сумел достичь раньше.

9. Длительность сдачи зачета формально не ограничивается, но обычно он длится не более 5 часов. Соответственно, на решение каждой дополнительной задачи после сдачи билета отводится от 30 до 45 минут в зависимости от ее трудности.

10. Окончательное принятие решения по всем п.п. 2)–9) оставлено на усмотрение преподавателей.

Блоки вопросов зачета.

Билет 1

Геометрия–комбинаторика; индукция – инвариант – делимость

Билет 2

Делимость–комбинаторика; ГМТ–комбинаторика–графы

Билет 3

Геометрия–комбинаторика; делимость–индукция–графы

Билет 4

Комбинаторика–ГМТ; индукция–делимость–графы

Билет 5

Площади–комбинаторика; делимость–графы–дискретная непрерывность

Билет 6

НОД–индукция; комбинаторика – площадь – графы

Билет 7

ГМТ – комбинаторика; делимость – индукция – дискретная непрерывность

Билет 8

Делимость­­–построения; комбинаторика–индукция–дискретная непрерывность

Билет 9

Площади–делимость; комбинаторика–графы–количество информации

Билет 10

Делимость–ГМТ; комбинаторика–Дирихле–графы

Билет 11

Делимость–графы; комбинаторика–ГМТ–Дирихле

Билет 12

Графы–комбинаторика; построение–индукция–делимость

Билет 13

Графы–делимость; конструкция–ГМТ–комбинаторика

Билет 14

Графы–геометрия; делимость–комбинаторика–процесс

Билет 15

Делимость–количество информации; дискретная непрерывность–геометрия–графы

Билет 16

Графы–Дирихле; комбинаторика–делимость–геометрия

Билет 17

Инвариант–комбинаторика; делимость–графы–неравенство треугольника

Билет 18

Графы–инварианты; комбинаторика–неравенство треугольника–делимость

Билет 19

Графы–комбинаторика; делимость–индукция–дискретная непрерывность

Билет 20

Комбинаторика–ГМТ; графы–индукция–делимость

Задачи и решения блоков

Билет 1

1. Из угла доски 1024×1024 вырезали кусок 256×256. Докажите, что оставшуюся часть доски можно разрезать на «уголки» из трёх клеток.

Индукция.

1. На столе стоит 2006 стаканов, причем ровно половина из них вверх дном. Можно ли все поставить правильно, если разрешается переворачивать за один ход ровно 4 стакана?

Решение. Заменяем правильно стоящие на +1, а неправильно стоящие – на -1. Тогда произведение будет инвариантом.

1. p, q – различные простые числа. Докажите, что p^q+q^p  p+q (mod pq).

Решение. Рассмотреть разность + МТ Ферма.

Билет 2

1. Дан треугольник АВС. Найдите геометрическое место таких точек Х, что треугольники АВС и АВХ равновелики.

Ответ: пара прямых, параллельных АВ.

1. Лестница состоит из 7 ступенек, не считая верхней и нижней площадок. Спускаясь, можно перепрыгивать через некоторые ступеньки (можно даже через все семь). Сколькими способами можно спуститься по этой лестнице?

Ответ: . Можно выбрать или не выбрать каждую из семи ступенек.

1. В теннисном турнире каждый игрок команды "синих" встречается с каждым игроком команды "красных". Число игроков в командах одинаково и не больше восьми. "Синие" выиграли в четыре раза больше встреч, чем "красные". Сколько человек могло быть в каждой из команд?

Решение. Количество встреч равно , и оно кратно 5. Тогда , очевидно .

Билет 3

1. Можно ли, переставив цифры ненулевой степени двойки, получить степень тройки?

Ответ: нет .

1. Плоскость поделена на области несколькими прямыми и окружностями. Докажите, что эти области можно раскрасить в два цвета так, чтобы любые две соседние области были раскрашены в различные цвета. (Соседними считаются области, имеющие общий участок границы.)

Идея: индукция.

1. Могут ли в компании из 200 человек ровно двое иметь по 1 знакомому, ровно двое – по 2 знакомых, и так далее, ровно двое – по 100 знакомых?

Ответ: могут.

Билет 4

1. Докажите, что при каждом натуральном n, начиная с 3, существует выпуклый n-угольник, имеющий ровно три острых угла.

Решение. Индукция по числу углов. Шаг индукции – отрезаем тупой угол. Доказываем, что получается два тупых угла.

1. Докажите, что p²–q² делится на 24 для любых простых p 3 и q 3.

Решение. . Рассмотреть остатки при делении на 3 (1 или 2) и от деления на 4 (1 или 3).

1. На международную конференцию приехало 102 человека. Любые трое участников могут общаться друг с другом (при этом, возможно, одному придется переводить разговор двух других). Докажите, что их можно расселить в двухместные номера так, чтобы соседи понимали друг друга.

Решение. Расселяем по двое (умеющих общаться между собой), пока не останется 4 человека. Далее перебрать варианты и убедиться, что четверых также расселить можно.

Билет 5

1. Решите в целых числах уравнение х²–4у²=29.

Решение. Разложение на множители и перебор дают , причём знаки – любые.

1. В графе 2003 вершины, степени всех вершин ненулевые и равны между собой. Вершины раскрашены в красный, синий и зеленый цвета так, что концы любого ребра – разноцветные. Докажите, что найдется красная вершина.

Решение. Если можно покрасить в два цвета, то любой цикл- чётный, значит граф двудольный. Степени вершин одинаковы, значит количества вершин слева и справа совпадают, а вершин нечётное число.

1. К автомату с газировкой стояла очередь из 100 гномов. Газировка бывает двух сортов: с сиропом – за 3 копейки и без сиропа – за 1 копейку. Самый первый гном купил газировку с сиропом. Второй – без сиропа. Верно ли, что в некоторый момент гномов, уже купивших газировку с сиропом было столько же, сколько гномов, собиравшихся купить газировку без сиропа?

Решение. Верно. Рассмотрим функцию f=(число гномов уже купивших газировку с сиропом)-(число гномов, которые хотят купить газировку без сиропа ). При каждой покупке f изменяется на единицу. После первой покупки f0, перед последней покупкой f0.

Билет 6

1. В изолятор доставили 20 школьников. Сколькими способами можно распределить их по четырем трехместным и двум четырехместным палатам?

1. Найдите площадь большого треугольника, если площадь закрашенного треугольника равна 1.

2. При каких n можно расставить в вершинах n-угольника натуральные числа так, чтобы на каждой стороне одно число делилось на другое, а для всех остальных пар чисел такого не было?

Билет 7

1. Суммы цифр чисел и равны. Докажите, что

1. Докажите равенство:

2. У Пети есть набор палочек, каждая из которых не длиннее 10 см. Он строит из них ломаную, прикладывая каждую следующую палочку к концу предыдущей. В итоге расстояние между началом и концом ломаной оказалось больше, чем 1м. Докажите, что в какой-то момент (когда ломаная еще не была достроена до конца) расстояние между ее началом и концом было меньше чем 53 см, но больше, чем 42 см.

Билет 8

1. Сколько различных делителей у числа 3500?

1. Докажите, что 1²+3²+5²+…+(2n–1)²=n(4n²–1)/3

2. В поселок ежедневно приходит не менее двух писем и не более трех телеграмм. За январь прошлого года писем пришло больше, чем телеграмм, а за весь прошлый год в целом – наоборот. Докажите, что в прошлом году был день, в который количества писем и телеграмм, пришедших в поселок с начала года, совпадали.

Билет 9

1. Профессор Снегг в наказание Гарри Поттеру велел каждый день варить 4 зелья из пяти трав каждое так, чтобы не оказалось двух дней с одинаковым набором приготовленных зелий (каждый день Снегг выдавал один и тот же набор из 20 трав). Как долго может длиться его наказание?

1. Какое минимальное количество ребер нужно выкинуть из полного графа со 100 вершинами, чтобы в получившемся графе существовал эйлеров цикл?

2. Есть 13 пронумерованных монет, из них какие-то 6 подряд лежащих – фальшивые (более легкие, чем настоящие). Определите за два взвешивания, какие именно.

Билет 10

1. У Марии Васильевны на складе есть картошка, морковка, лук, свекла, молоко и огурцы. Она хочет сварить суп, используя либо 3, либо 4 из указанных продуктов. Сколько есть таких рецептов супа, в которые не входят одновременно огурцы и молоко?

1. В 1000 клеток посадили 499499 кроликов. Доказать, что найдется две клетки с одинаковым количеством кроликов внутри.

2. В классе 17 учеников. Известно, что среди любых трех учеников найдутся двое, которые дружат между собой. Докажите, что в классе есть ученик, у которого не менее 8 друзей.

Билет 11

1. Сколькими способами можно разбить отряд из 45 человек на три группы (№1, №22 и № «холл») по пятнадцать человек в каждой?

1. Найти геометрическое место четвертых вершин квадратов таких, что остальные три вершины лежат на двух данных перпендикулярных прямых.

2. В группе из 50 человек каждый имеет не менее 25 знакомых. Докажите, что из этой группы можно выбрать 4 человека и посадить из за круглый стол так, чтобы каждый сидел между двумя своими знакомыми.

Билет 12

1. Построить треугольник по стороне, прилежащему углу и биссектрисе другого прилежащего угла.

1. Докажите, что .

2. Докажите, что число 58¹⁹+19⁵⁸ делится на 59.

Билет 13

1. Можно ли на рёбрах куба расставить числа от 1 до 12 так, чтобы суммы чисел в каждой тройке рёбер, имеющих общую вершину, были одинаковы?

1. В треугольнике АВС найдите геометрическое место точек Р, для которых выполняется равенство: S_APB + S_BPC = S_CPA.

2. На складе есть в достаточном количестве яблоки, груши, бананы, киви и апельсины. Из них требуется выбрать 30 фруктов. Сколькими способами можно это сделать?

Билет 14

1. Решите в целых числах уравнение 16х+84y = 88

1. Имеются карточки с цифрами: 1, 2, 2, 3, 3, 3. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить с помощью этих карточек?

2. В стране каждые два города соединены дорогой с односторонним движением. Докажите, что есть город, из которого можно доехать до любого другого, заезжая не более чем в один промежуточный город.

Билет 15

1. Петя пишет на доске числа. Если он написал число А, то следующим ходом он может написать любое из чисел A+1, А+2, A–6. Вначале он написал 5, а последнее, написанное им число было 600. Докажите, что на доске написано хотя бы одно из чисел: 100, 101.

1. Найдите угол между биссектрисами АН и СМ треугольника АВС, если АВС равен .

2. Каждая грань кубика 3 см × 3 см × 3 см разбита на 9 квадратов. Некоторые стороны этих квадратов (на свой выбор) хитрый маляр покрасит в красный цвет, взяв по 10 рублей за каждый окрашенный сантиметр. Требуется, чтобы в результате на поверхности кубика нашлась замкнутая ломаная из красных отрезков. Какую сумму достаточно заплатить маляру?

Билет 16

1. Сколькими способами можно уложить 8 домино 1×2 в прямоугольник 2×8?

1. Докажите, что число 21⁴⁰ – 1 кратно 205.

2. Докажите, что медиана, выходящая из острого угла треугольника, больше половины стороны, к которой она проведена.

Билет 17

1. Докажите, что n³+(n+1)³+(n+2)³ делится на 9.

1. В пруд выпустили 40 голодных щук. Щука называется сытой, если она съела трех других щук. Съеденная сытая щука по-прежнему считается сытой. Какое максимальное число щук может насытится?

1. Докажите, что в любом выпуклом пятиугольнике можно выбрать три диагонали, из которых можно составить треугольник.

Билет 18

1. Сколько существует 5-значных чисел, делящихся на 4, в записи которых не используются цифры 0, 4, 6, 8?

1. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон АВ и АС соответственно в точках М и N. Докажите, что .

2. Известно, что a+b+c делится на 6. Докажите, что a³+b³+c³ тоже делится на 6.

Билет 19

1. Делится ли на 4 число ?

1. У бородатого многоугольника во внешнюю сторону растет щетина. Его пересекает несколько прямых общего положения, на каждой из которых с одной из сторон растут волосы. В результате многоугольник оказался разбитым на некоторое число частей. Докажите, что хотя бы одна из частей окажется бородатой снаружи.

2. За круглым столом сидит четное количество гномов в колпаках с помпонами, причем у любых двух рядом сидящих гномов количество помпонов отличается не больше, чем на 1. Докажите, что найдется пара гномов, сидящих друг напротив друга, у которых количество помпонов на колпаках отличается не больше, чем на 1.

Билет 20

1. На рисунке изображен первый этаж дома. Можно ли составить маршрут обхода этого этажа так, чтобы он проходил через каждую дверь ровно один раз?

1. Докажите, что (n+1)(n+2)…(n+n)=2ⁿ135… (2n–1) для любого натурального n.

2. Есть бактерия, которая делится на 3 бактерии. В дальнейшем появляющиеся бактерии могут делиться на 4 бактерии, могут делиться на две, а могут и не делиться. Образовалось 102 бактерии. Определите число делений, если известно, что число бактерий, разделившихся на две, в 6 раз больше, чем число бактерий, разделившихся на четыре.