Бином Ньютона, треугольник Паскаля, лекция.

1. Треугольник Паскаля и бином Ньютона.

Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид где — биномиальные коэффициенты, — неотрицательное целое число.

«Би»-удвоение, раздвоение … «Ном»(фран. nombre) –номер, нумерация. «Бином» -»два числа»

Бином Ньютона – это выражение вида

Треугольником Паскаля пользуются при возведении бинома (a+b) в натуральные степени.

Свойства коэффициентов бинома Ньютона:

Свойство 1.

Свойство 2. ,

Свойство 3.

Свойство 4.

Свойство 5.

Свойство 6.

1. Применение комбинаторики

Комбинаторика как раздел математики имеет широкий спектр применения в различных областях знаний. Статья посвящена рассмотрению комбинаторных объектов в жизнедеятельности человека и решению комбинаторных задач на составление автомобильных номеров. Исследование показало, что для развития современной системы математического образования комбинаторика обладает высоким творческим потенциалом. Кроме этого можно выделить следующее:

- учебные заведения (составление расписаний);

- сфера общественного питания (составление меню);

- лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв);

- биология (расшифровка кода ДНК);

- экономика (анализ вариантов купли-продажи акций);

- география (раскраска карт);

- спортивные соревнования (расчёт количества игр между участниками);

- производство (распределение нескольких видов работ между рабочими);

- астрология (анализ расположения планет и созвездий);

- криптография (разработка методов шифрования);

- агротехника (размещение посевов на нескольких полях);

- азартные игры (подсчёт частоты выигрышей);

- химия (анализ возможных связей между химическими элементами);

- военное дело (расположение подразделений);

- доставка почты (рассмотрение вариантов пересылки) и прочее.

Методы решения комбинаторных задач:

метод перебора (подбираются задачи на развитие мышления);

табличный метод (все условия вносятся в таблицу, в ней же выполняется решение);

построение дерева возможных вариантов решений;

построение граф - схемы.

ТИПЫ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ:

1. Перестановки.

2. Размещения.

3. Сочетания.

ОСНОВНЫЕ КОМБИНАТОРНЫЕ ПРИНЦИПЫ

Иногда подсчитать комбинации в задачах можно быстро и легко. Для этого используются правило суммы и правило произведения. Правило суммы и правило произведения — основные комбинаторные принципы, которые используются в комбинаторике.

ПРАВИЛО СУММЫ

Задача. В вазе 4 яблока и 3 груши. Сколькими способами можно взять из вазы один из фруктов?»

Решение: Что значит «взять 1 из фруктов? Это значит взять яблоко или грушу.

Сколькими способами можно взять 1 яблоко? Почему? (Четырьмя способами, так как яблок всего 4 они разные). Сколькими способами можно взять 1 грушу и почему? (Тремя способами, так как груш всего 3 и они разные). Сколькими способами можно взять один из фруктов? (Семью способами 7=4+3).

Правило произведения

При решении комбинаторных задач часто приходится умножать число способов выбора одного объекта на число способов выбора другого объекта. Чтобы найти число комбинаций, достаточно перемножить число предметов одного вида на количество предметов другого вида. Это правило называется правилом произведения.

Задача. У Алисы есть 4 разных платья и 3 разных пары туфель. Она собирается на вечеринку и думает, что ей надеть. Сколько у Алисы вариантов?

Решение.Нам надо составить все возможные комбинации. В каждой из них будут участвовать и платье, и туфли. Предположим, платье Алиса выбрала. Тогда к нему она может подобрать одну из 3-х пар туфель. Таким образом, есть 3 набора "платьетуфли" с этим первым платьем. Поскольку платьев всего 4, то по правилу произведения 4*3=12. У Алисы 12 вариантов нарядов на вечеринку.

Использовать правило произведения - это, значит, умножить число одних элементов на количество комбинаций с ними.

Решение задач с помощью разных методов.

Одну и ту же задачу можно решить с помощью разных методов.

Задача. Учащимся раздали цветные полоски (белый, синий, красный) и предложили из них составить флаг Российской Федерации. Оказывается, есть государства, где флаги имеют такие же цвета. Видим, что от перестановок цветных полосок, можно получить другой флаг. Как подсчитать, сколько таких флагов мы можем составить из трех цветных полосок?

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ.

Задача 1. (размещения) Из цифр 1,2,3,4,5,6 составить все возможные трехзначные числа.

При этом мы должны рассмотреть случаи:

1) когда цифры в записи числа повторяются

2) когда цифры в записи числа не повторяются.

Задача 2. (перестановки) На столе лежат яблоко, груша и банан. Выкладываем фрукты слева направо в следующем порядке: яблоко / груша / банан.

Вопрос: сколькими способами их можно переставить?

Задача 3. Маша, Оля, Вера, Ира, Андрей, Миша и Игорь готовились стать ведущими на Новогоднем празднике. Назовите возможные варианты, если ведущими могут быть только одна девочка и один мальчик.

Задача 4. Андрей, Борис, Виктор и Григорий играли в шахматы. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько партий было сыграно?

Задача 5. Катя собирается на каникулы. Она может поехать с бабушкой или с родителями. Если Катя поедет с бабушкой, то она сможет провести каникулы или на даче, или в городе, или в деревне. Если она поедет с родителями, то она сможет провести каникулы или отдыхая в санатории, или путешествия по горам, или путешествуя на теплоходе. Сколько разных вариантов есть у Кати, чтобы провести свои каникулы?

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:

Задача 1. Вычислить: а) , б) .

Задача 2. Какие двузначные числа можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

Задача 3. Сколько нечетных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9?