Барабарсыздыктарды окутуунун усулдары.

Барабарсыздыктарды окутуунун усулу

План:

1. Барабарсыздыктарды орто мектепте окутуунун удаалаштыгы жана орду жѳнүндѳ

2. Барабарсыздык түшүнүгүн кийирүүнүн жолдору

3. Барабарсыздыктардын үстүнѳн жүргүзүлүүчү амалдарды окутуу

4. Сызыктуу барабарсыздыктарды чыгарууну үйрѳтүү

5. Барабарсыздыктардын системасын түзүүнү үйрѳтүү

6. Билгисизи модул ичинде болгон барабарсыздыктарды чыгарууну үйрѳтүү

7. Квадраттык барабарсыздыктарды чыгаруу. Интервалдар методун окутуу.

Барабарсыздыктар, алардын түрлѳрү, типтери, аларды чыгаруу мектеп математикасынын негизги бѳлүгүн түзѳт. Алар башталгыч класстардан баштап, акыркы бүтүүчү класстардын математикасында кеңири орун алган. Барабарсыздыктарды окутуу теңдемелерди окутууга окшош кѳпчүлүк мезгилде барабардык катышынан, теңдемелерден барабарсыздыктар берилет. Ошондуктан барабарсыздыктар тажрыйба кѳрсѳткѳндѳй кѳпчүлүк окуучулар барабарсыздыктарды ѳздѳштүрүүдѳ кыйналышат, аларды чыгарууда каталыктарга жол коюшат. Мисалы, окуучулар квадраттык теңдемелерди кыйла дурус ѳздѳштүрүшкѳнү менен, экинчи даражалуу барабарсыздыктарды чыгаруудан ѳтѳ кыйналышат. Ошондой эле тригонометриялык, кѳрсѳткүчтүү жана логарифмалык барабарсыздыктарды окуучулардын кѳпчүлүгү ѳтѳ начар чыгарышат. Анын себеби катары мектепте барабарсыздыктарды окутууга жетишерлик убакыттын берилбегендиги, мугалимдер барабарсыздыкты үстүртѳн окутуп, ага жетиштүү кѳңүл бѳлбѳгѳндүгүг айтууга болот. Барабырсыздыктарды орто мектепте окутуунун удаалаштыгы тѳмѳнкүдѳй:

1. Сандык барабарсыздыктар, ≤, ≥, белгилери, жазылышы, окулушу, алардын касиеттери:

а) каалагандай а жана в үчүн а=b же а b же ab;

б) а b болсо, анда ba;

в) а b, bc болсо, анда а с;

г) а b болсо, анда а+с b+с;

д) а b жана с 0 болсо, анда ас bс;

е) а b жана сbс;

ж) а b жана сd болсо, анда а+с b+d;

Бул касиеттер тѳмѳнкү класстарда далилденбей эле берилет, аларды далилдѳѳ жогорку класстарда жүргүзүлѳт.

1. Белгисизи бар барабарсыздыктар, биринчи даражалуу бир белгисизи ар барабарсыздыктарды чыгаруу. Алдын ала ха, хb, ах≤b, а≤х≤b, кѳрүнүшүндѳгү барабарсыздыктардын чечимдеринин кѳптүгүн жаза билүүгѳ үйрѳтүү, «сандык аралык», «сандык интервал», «сегмент» ж.б. түшүнүктѳрүн берүү. Андан кийин сыяктуу барабарсыздыктарды чыгарууну үйрѳтүү.

2. Бир белгисисзи бар, биринчи даражалуу барабарсыздыктардын системаларын чыгарууну үйрѳтүү: ж.б. түрдѳгү мисалдарды чыгаруунун методдорун түшүндүрүү жоопторун жаза билүүнү үйрѳтүү.

3. ,барабарсыздыгы же түрүндѳгү барабарсыздыктардын системаларын тең күчтүүлүгүн түшүндүрүү;

4. Жакындаштырылган сандар, жакындаштырылган эсептѳѳлѳр жѳнүндѳ түшүнүктѳр берип, аларды барабарсыздыктар менен алмаштырып түшүндүрүү, кеми менен жана ашыгы менен алынган жакындаштырылган маани түшүнүгүн кийрүү, алар менен болгон амалдарды аткаруу эрежелерин үйрѳтүү;

5. түрүндѳгү экинчи даражалуу барабарсыздыктарды, анын чыгарылышынын алгебралык, графикалык жолун жана методун түшүндүрүү, чыгара билүүгѳ кѳнүктүрүү;

6. Барабарсыздыктарды чыгаруунун рационалдуу жолдорунун бири….методу, ал методдун маңызын түшүндүрүү, пайдалана билүүгѳ үйрѳтүү;

7. Иррационалдык, тригонометриялык, кѳрсѳткүчтүү жана логарифмдик барабарсыздыктардыьчыгаруунун методдорун, жолдорун кѳрсѳтүү, алардан пайдаланып мисал-маселелерди чыгара билүүгѳ үйрѳтүү.

2.Барабарсыздык түшүнүгүн бир нече метод менен кийирүүгѳ болот.

1. Салыштыруунун, жѳнѳкѳй мисалдардын, барабардык катышынын жардамында;

2. Таразалардын, тартуунун, ченѳѳлѳрдүн жардамында;

3. Кемитүү амалынын жардамында, эгерде а-в=0 болсо, анда а=в болот, эгерде а-в0 болсо, анда ав, эгерде а-в

4. Сандык шоола, сан окторунун жардамында (19-сүрѳт). Эгерде а саны сан огунда в санынын сол жагында жатса, анда аа болот, бардык оң сандар х0, ал эми терс сандар х

Таразанын бир табагына дарбызды, башка жагына 7кг таш койгондо дарбыз жагы ооп кетсе, анда дарбыздын салмагы а7 болот (20-сүрѳт). Таразанын сол жагына коонду, оң жагы дарбызды койгонубузда дарбыз жагы ооп кетсе, анда а7 деп жазылат.

Таразанын эки жагынан 1 кг таштарды алып салуудан барабарсыздык ѳзгѳрбѳйт, б.а. .…. Мында х2. Пакеттин салмагы …. Салмактан чоң болот.

Ушундай мисалдардын жардымдан барабарсыздыктардын касиеттерин келтирип чыгаруу мүмкүн (22-сүрѳт).

1°. Барабарсыздыктардын эки жагын тең бир эле туюнтманы кошкондо барабарсыздыктын белгиси ѳзгѳрбѳйт болсо, анда .

Натыйжа: Барабарсыздыктын бир бѳлүгүндѳгү каалагандай кошууну башкаа бѳлүгүнѳ карама-каршы белги менен алып ѳтүүгѳ болот, барабарсыздыктын белгиси ѳзгѳрбѳйт, б.а. болот, болот.

2°. Барабарсыздыктын эки бѳлүгүн бирдей эле оң туюнтмага кѳбѳйтүүдѳн, барабарсыздыктын белгиси ѳзгѳрбѳйт, б.а. , болсо, анда болот.

Натыйжа: Барабарсыздыктын эки жагын бирдей эле оң чоңдукка кыскартууга болот, б.а. , С0 болсо, анда .

3°. Барабарсыздыктын эки бѳлүгүн тең бирдей терс тунтмага кѳбѳйтүүдѳн анын белгиси карама-каршыга ѳзгѳрбѳйт, б.а. , болсо, анда .

Натыйжа: Барабарсыздыктын эки жагын бирдей эле терс туюнтмага кѳбѳйтүүдѳн анын белгиси карама-каршыга ѳзгѳрѳт, б.а. , а . Бул касиеттер барабарсыздыктарга тиешелүү мисал-маселелерди чыгарууда пайдаланылат.

3. Ар түрдүү маселелерди чыгарууда бирдей белгидеги барабарсыздыктарды кошуу же кѳбѳйтүүгѳ туура келерин ….. керек. Барабардыкты бирдей белгидеги , карама-каршы белгидеги барабарсыздыктарды кайталап, барабарсыздыктарды кошуу жана кѳбѳйтүү жѳнүндѳгү теоремаларды айтып, мисалдарды чыгарууда колдонобуз.

1-Теорема. Белгилери бирдей болгон барабарсыздыктарды кошкондо барабарсыздыктын белгиси ѳзгѳрбѳйт, б.а. ав жана сd болсо, анда а+св+d.

Далилдѳѳ. Шарт боюнча а-в0, с-d0 (a+c)-(b+d)=a+c-b-d=(a-b)+(c-d) Оң сандардын суммасы дагы оң сан болгондуктан (a+c)-(b+d)0, б.а. a+cb+d

Мисалы ;

2-Теорема. Сол жана оң жактары оң сан болушкан жана белгилери бирдей барабарсыздыктарыды кѳбѳйткѳндѳ ошол эле белгидеги барабарсыздык келип чыгат. Б.а. ав, сd болсо, мындан асbd, а,в,с, d- оң сандар.

Далилдѳѳ. aс-вd айырмасын карайлы. aс-вd=ac-вс+вс-вd=c(a-в)+в(с-d)

Шарт боюнча а-в0, с-d0, a0, b0, c0, d0.Ошондуктан c(a-в)+в(с-d)0 б.а. ас-вd0

Мындан aсвd

Мисалы:

4.Сызыктуу барабарсыздыкты чыгарууда сызыктуу теңдемелерди чыгарган сыяктуу эле чыгарат. Сызыктуу барабарсыздыктарды чыгарууда барабарсыздыктын касиеттерин колдонулат. (Биздин лекцияда 4-бетте берилген үч касиет).

Сызыктуу барабарсыздыкка келтириле турган бир белгисиздүү барабарсыздыктарды чыгаруу үчүн:

1. Белгисизди кармаган мүчѳлѳрдү барабарсыздыктын сол жагына, ал эми бош мүчѳлѳрдү оң жагына топтоо керек (1-касиет 61 бет)

2. Окшош мүчѳлѳрдү топтогондон кийин барабарсыздыктын эки жагын тең белгисиздин алдында турган коэффициентке, эгерде ал нѳлгѳ барабар эмес болсо, бѳлүү керек (2-касиет, 61 бет).

1-Мисалы, Барабарсыздыгын чыгаргыла.

Чыгаруу. Кашааларды ачабыз:

1-касиет боюнча:

Бул барабарсыздыктын чыгарылышы х каалагандай сан болот.

2-мисал.

Чыгаруу.

5.Барабарсыздыктардын системасын иштетүү методикасы.

Барабарсыздыктардын системасын чыгарууну мисалдардын жардамы менен берип кѳрѳлү.

(1)

Чыгаруу. Системанын 1-барабарсыздыгын чыгаралы

Демек, биринчи барабарсыздык болгондо аткарылат. Эми 2-барабарсыздыкты чыгаралы.

(1)системанын экинчи барабарсыздыгы болгондо аткарылат.

(1)системанын биринчи жана экинчи барабарсыздыгынын чыгарылыштар кѳптүгүн сан огунда сүрѳттѳйлү. Эки аралыктын кесилиши. (-∞; -2]ᴖ[-4; +∞)= [-4; -2]

6.Квадраттык барабарсыздыктарды чыгарууну окутуу.

Адатта барабарсыздыктарды алгебралык, графикалык жолдор менен чыгаруу кѳп кездешет. Ал эми жогоруда биз интервалдар методу алардын арасында рационалдуу, ыңгайлуу жол болуп эсептелет. Интервалдар методу менен барабарсыздыктарды чыгаруунун негизги мазмуну тѳмѳнкүлѳр:

Берилген туюнтма же кѳп мүчѳнү сызыктуу кѳбѳйтүүчүлѳргѳ ажыратуу;

Ар бир сызыктуу кѳбѳйтүүчүнүн тамырларын табуу жана аларды сан огунда белгилѳѳ;

Пайда болгон сан интервалында берилген туюнтманын, кѳп мүчѳлүү бѳлчѳктүн белгисин аныктоо. Барабарсыздыктын коңшулаш интервалдарда белгилердин …. Пайдалануу.

1. Алгач квадраттык барабарсыздыктарды чыгаруунун жолдорун карап кѳрѳбүз.

Мисалы, барабарсыздыгын графикалык жол менен чыгарууга токтололу. Алгач, берилген барабарсыздыкты жѳнѳкѳйлѳтүп алалы ,

функциясынын графиги-бутактары жогору караган парабола болот.

Парабола Ох огун кандай чекиттерде кесип ѳтѳрүн аныкташ үчүн теңдемесин чыгарабыз. Тамырлары ; болот. Х тин маанилери (-∞; -7) аралыгында же аралыгында жатса, берилген барабарсыздык туура болот.

Жообу: (-∞; -7) ᴗ

1. Квадраттык барабарсыздыктарды чыгаруу үчүн квадраттык барабарсыздыктарды квадраттык теңдеменин тамырларын таап, кѳбѳйтүүчүлѳргѳ ажыратып интервалдар методун колдонобуз.

2. Интервалдар методу.

Мисалы, барабарсыздыгын чыгаргыла.

Чыгаруу. деп белгилейли. Анда

Сызыктуу кѳбѳйтүүчүлѳрдүн тамырлары , , , болот. Сан огунда ал чекиттерди белгилейбиз (23-сүрѳт).

Анда түз сызык (-∞; -1); (-1; 0); (1; 5) жана (5;+∞) интервалдарына бѳлүнѳт, болсо , белгиси (+), болсо, , белгиси (-), калган интервалдарда да белгилер алмашып барат. Ушинтип мисалдын жообу: (-1; 0) ᴗ (1; 5). Жоопту табууда сан огун кѳрсѳтүү, схемада белгилѳѳ сѳзсүз керек. Бирок чиймеде координата башталышын белгилѳѳ, масштабын сактоо шарт эмес.

Абсолюттук чоңдуктарды ѳз ичине алган теңдемелерди, барабарсыздыктарды чыгарууда да интервалдар методун пайдалануу жакшы натыйжа берет.