"Банковские операции: начисление простых и сложных процентов"

Тема урока: "Банковские операции: начисление простых и сложных процентов"

Цель урока: осознанное понятие формул простого и сложного процентного роста;

Задачи урока:

Образовательная: формирование умений решать задачи практической направленности, помочь учащимся целостно представить прикладной характер геометрической прогрессии в экономической сфере

Развивающая: развитие логического мышления, интереса к предмету математика с экономической точки зрения;

- содействовать развитию творческой деятельности в процессе конструирования математической модели;

- содействовать развитию у детей умений осуществлять адекватную самооценку при выборе уровня трудности самостоятельной работы, самоанализ учебной деятельности.

Воспитательная: создание условий для формирования информационной культуры учащихся.

Методы: проблемно-диалогический, частично-поисковый.

Оборудование: компьютер, видеопроектор, экран, калькуляторы.

Предполагаемый результат:

• знание формул простого и сложного процентного роста;

• знание смысла параметров в формулах простого и сложного процентного роста;

• знание отличия формулы простого процентного роста от формулы сложного процентного роста;

• умения начисления простого и сложного процентов;

• умения использовать экономический способ при решении задач, связанных с банковскими операциями.

Ход урока:

1.Организационный момент.

Приветствие. Организация внимания учащихся.

Учитель математики: Наше занятие хотелось бы начать с мудрых слов Цицерона:

“Недостаточно владеть премудростью, нужно также уметь пользоваться ею” (слайд 1).

Надеюсь, ребята, мы найдем вместе с вами подтверждение этим словам.

Актуализация опорных знаний.

Учитель математики: Что такое процент? (Процентом (от лат. “pro cento”) числа называется сотая часть этого числа.)

Как найти % от числа? (Данное число умножается на число процентов и полученный результат делиться на 100.)

Что значит увеличить величину на 10 %, на 50 %?

Что значит найти 10 %, 20 % от величины? (слайд2)

Формирование новых знаний учащихся: Наверное, никто из вас не представляет сегодняшнюю жизнь без денег. Куда ни посмотри, везде нужны деньги: в кафе, в кино, в театре и т.д. Вопрос: Какие виды денег вам известны?

Ответ: Наличные и безналичные.

Работа по схеме I (слайд 3) .

Общая сумма наличных и безналичных денежных средств всех граждан страны составляет денежную массу.

Учитель математики: Где население хранит деньги?

Да правильно в банках. Где на них должны начисляться проценты.

Давайте немного познакомимся с работой современных банков. Значит тема нашего урока: "Банковские операции: начисление простых и сложных процентов" (слайд4)

Задача 1. В сберкассу положили 10000 р., на которые начисляют 4 % годовых. Сколько денег будет в конце первого года хранения? (процентная ставка – десятичная дробь) (слайд 5)

(слайд 6)

Полученная формула зависимости дает возможность решать три типа задач на денежные расчеты (нахождение Р, i, k) и называется формулой “сложных процентов”.

Сколько денег будет в конце второго года хранения?

Сколько денег будет в конце третьего года хранения?

Сколько денег будет в конце n - го года хранения?

Учитель: - множитель наращения сложных процентов, а процедура наращения называется капитализацией процентов.

Что означают параметры Р, i, n в полученной формуле?

Р - начальный капитал;

i - процентная ставка прибыли за определённый промежуток времени;

n – число промежутков времени.

Учитель: Что напоминает полученная формула?

Геометрическая возрастающая прогрессия.

Чему равны в этой прогрессии первый член и её знаменатель?

b = P, q= .

Учитель: Наряду с формулой сложного процентного роста существует формула простого процентного роста: , где параметры Р, i, n имеют тот же смысл, что и в формуле сложного процентного роста.

- множитель наращения простых процентов.

В чём состоит отличие формулы простого процентного роста от формулы сложного процентного роста?

В формуле простого процентного роста процент берётся каждый раз от одного и того же числа Р.

Формирование умений учащихся:

Давайте проверим это через решение задач. Работа в группах, каждая группа вытягивает задачу (решаем пять задач).

Задача 1. Прототип задания B11 (№ 99570)

Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Митя внес 14% уставного капитала, Антон — 42000 рублей, Гоша — 0,12 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1000000 рублей причитается Борису? Ответ дайте в рублях.

Решение: Решение.

1 способ:

1)200000∙0,14 = 28000(руб) – внес Митя

2)200000 ∙ 0,12 = 24000(руб) - внес Гоша

3)200000 – (28000 + 24000 + 42000) = 106000(руб) – внес Борис

4) 106000 : 200000 = 0, 53 вклада внес Борис

5) 1000000 ∙ 0,53 = 530000(руб) – прибыль Бориса

Ответ: 530000

2 способ:

1)42000 : 200000 = 0,21 вклада внес Антон

2) 1 – (0,14 + 0,21 +0,12) = 0,53 вклада внес Борис

3)1000000 ∙ 0,53 = 530000(руб)

Ответ: 530000

Задача 2. Прототип задания B11(№ 99586)

Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?

Задача 3. Прототип задания B11 (№ 99587)

Компания "Альфа" начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания "Бета" начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Задача 4. Предположим, что наш воображаемый герой с экзотическим именем Благолюб решил защитить и преумножить свои сбережения. Он идет в банк, и кладет свои 10 тыс. грн. на 20 лет на депозитный счет с годовой процентной ставкой 13%. Капитализация начисленных процентов осуществляется в конце каждого года. Итого:

• P=10000

• r=13, ежегодно (англ. annually), сложные

• t=20

Найти сумму сбережений у Благолюба по истечению срока.

Задача 5. Товарищ мудрого Благолюба, персонаж со старославянским именем Святогор, решил сохранить и преумножить ту же сумму и кладет свои 10 тыс. грн. на 20 лет на депозитный счет с годовой процентной ставкой 15,5%. У Святогора  проценты не сложные, а фиксированные. Итого:

• P = 10000

• r = 15,5, ежегодно, фиксированные

• t = 20

Найти сумму сбережений у Святогора по истечению срока.

Обсуждение решений идет через слайды.

Задача 1.Решение: Получаем следующий расчет:

Из таблицы видно, что по истечении всего периода в 20 лет, при годовой ставке в 13%, начальном капитале в 10 тыс. и ежегодном реинвестировании, сложные проценты принесли более 105 тыс. чистой прибыли Благолюбу. Конечно, в течение этих 20 лет, покупательная способность валюты бы уменьшилась, но все равно это колоссальный результат в среднем в 50% доходности в год.

Задача 2. Решение:Получаем следующей расчет:

Как видите, у Святогора, при фиксированном проценте, тело вложения остается неизменным на протяжении всего 20-ти летнего периода. Начисленные проценты тоже являются константой, вычисляемой по классической формуле I=P·R·T.

Но самое главное — это прибыль: у Святогора при простых процентах она составила всего 31 тыс или 310%, а у Благолюба — 105 тыс или 1050%. Разницу, чувствуете? У Благолюба при 13 сложных процентах прибыль намного превысила прибыль при 15,5 фиксированных процентах, которыми довольствовался Святогор.

Сравните рост капитала при простых и сложных процентах наглядно:

Даже при том, что у Святогора 15,5 процентов, сложные проценты принесли существенно больше прибыли при годовой ставке в 13%.

Время имеет значение

Важно понять, что при вложении капитала в депозит со сложными процентами, имеет смысл держать счет открытым как можно дольше. Красота сложных процентов заключается в том, что сумма на счету растет тем быстрее, чем дольше открыт счет. В примере с Благолюбом и сложных процентах, на первом году прибыль составила 13%, на пятом — уже 21%, на 10-м — 39%, на 20м — 132% и т.д., и происходит это за счет того, что каждые новые проценты работают на вас, и приносят прибыль в 13% соответственно. Т.е. чем дольше деньги лежат на депозите со сложными процентами, тем быстрее растет ваш капитал.

Учитель: Рассмотрим применение формул на конкретной задаче, которая встретилась вам на пробном ЕГЭ.

Задача. 31 декабря 2018 года Алексей взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Обсуждение задачи в группах. Разбор задачи на доске.

Следующий этап: Самостоятельная работа

Задача 1: Клиент положил на счёт 1000 рублей. За оказание определённой услуги сумма на счёте ежемесячно снижается на 5 %. Через сколько месяцев эта сумма сократится:

а) до 800 рублей; б) до 700 рублей; в) до 400 рублей; г) до 100 рублей?

Учитель: Решение. Задача на простой процентный рост .

Что означают параметры в формуле и чему они равны?

Р - начальный капитал – 1000 рублей;

i - процентная ставка – 0,05;

k – конечный капитал;

n – число месяцев.

Что нужно найти в задаче?

Число месяцев – n.

Учитель математики: Выразим из формулы n: — — — — .

а)

б)

в)

г)

Задача 2. Какая сумма будет на счете через 5 лет, если на него внесено 5000 рублей под 20 % годовых?

Решение. Задача на сложный процентный рост .

Что означают параметры в формуле и чему они равны?

а - начальный капитал – 5000 рублей;

p - процентная ставка – 0,2;

k – конечный капитал;

n – число лет –5 лет.

Задача 3. За хранение денег сбербанк начисляет вкладчику 9 % годовых. Вкладчик положил на счёт 10000 р. и решил в течение пяти лет не снимать деньги со счёта и не брать процентные начисления. Сколько денег будет на счете вкладчика через год? через два года? через пять лет?

Решение. I способ (математический)

Сколько рублей составляют 9 % от 10000 рублей?

(10000 x 0, 09 = 900 (р.))

Сколько денег окажется на счете через один год?

(10000 + 900 = 10900 (р.))

Сколько рублей составляют 9 % от 10900 рублей?

(10900 x 0, 09 = 981 (р.))

Сколько денег окажется на счете через два года?

(10900 + 981 = 11881 (р.))

II способ (экономический). Задача на сложный процентный рост

а - начальный капитал – 10000 рублей;

p - процентная ставка – 0,09;

k – конечный капитал;

n – число лет – 1 год; 2 года.

Для n = 5 конечный капитал вычислить самостоятельно.

(n=5 (р)).

Итог урока. Оценивание.

Вопрос учителя:

Каким образом приобретенные знания по математике могут быть использованы для решения важных задач современной экономики?

(Ответ: Оказывается, что такие, на первый взгляд бесполезные вопросы, как члены геометрической прогрессии и сумма первых членов геометрической прогрессии, имеют глубокий экономический смысл).

Вопрос: Как вы считаете, прав ли был Цицерон?

(Ответ: Да, недостаточно просто знать, нужно уметь использовать информацию).

В качестве индивидуального задания на дом каждому ученику предлагается: В сборниках ЕГЭ просмотреть задачи на проценты в заданиях В1, В11, задание 17.

VIII. Рефлексия.

Итак, ребята, проанализируйте, пожалуйста, движение своих мыслей, чувств, ощущений, которые возникли у вас в процессе нашей совместной деятельности. Если вы довольны своей работой, если вам было комфортно и уютно, положите, пожалуйста, в мою копилку 10 коп. А если вы почувствовали неудовлетворенность, усталость – 5 коп.

Я хочу закончить наш урок словами Альберта Эйштейна: «Сложные проценты- самая мощная сила в природе»

Спасибо за урок!

Используемая литература:

1.Сборник ЕГЭ-2019. Под редакцией И.В.Ященко.-М, издательство «Экзамен»,2019г.

2.Симонов А.С. Экономика на уроках математики. – М.: Школа – Пресс, 1999. – 160 с

3.Учебник «Алгебра 9 класс» Мордкович А.Г. Мнемозина, Москва.2017г.