Арифметическая прогрессия формулы n-го члена и её суммы.

9а класс 23.01.2023.

Тема: Формула суммы первых п членов арифметической прогрессии.

Цель урока: формировать умение решать задачи, используя формулы n –ого члена арифметической прогрессии; организовать деятельность по осознанию применения формул при решении задач; развивать практические умения и навыки решения задания № 14 из ОГЭ; формировать познавательный интерес к обучению.

Задачи уроки:- образовательная: продолжить изучение арифметической прогрессии, формулы n-ого члена арифметической прогрессии и её применение.

- воспитательная: воспитывать умение слушать своих одноклассников и учителя, развивать навыки самостоятельной работы, формировать навыки самоконтроля и взаимоконтроля;

- развивающая: продолжить работу над развитием логического мышления, умением анализировать, сопоставлять и обобщать полученные знания.

Планируемые результаты:

Личностные результаты:

• готовность и способность обучающихся к саморазвитию;

• навыки сотрудничества в разных ситуациях, умение не создавать конфликты и находить выходы из спорных ситуаций;

Метапредметные результаты.

Познавательные:

• сформированность познавательных интересов, направленных на развитие представлений о применении формул прогрессии при решении заданий ОГЭ;

• умение работать с различными источниками информации, включая цифровые;

• умение преобразовывать информацию из одной формы в другую.

Регулятивные:

• понимание смысла поставленной задачи;

• умение выполнять учебное действие в соответствии с целью.

Коммуникативные:

• сформированность умений ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной речи;

• умение адекватно использовать речевые средства для аргументации своей позиции;

• умение работать совместно в атмосфере сотрудничества.

Предметные результаты:

в познавательной (интеллектуальной) сфере:

• правильное использование формул к данной задаче.

в ценностно-ориентационной сфере:

• применение новых знаний в новой ситуации;

• объяснение того, что показывает где применить формулу.

Тип урока: закрепление материала.

Ход урока:

1. Организационный момент:

Подведение обучающихся к теме, цели и задачам урока.

2. Повторить и закрепить изученное:

сегодня на уроке мы будем решать задачи на нахождение суммы первых n-членов арифметической прогрессии, логические задания с применением формул арифметической прогрессии и также подготовимся к ОГЭ ходе решения задач, продолжим отработку вычислительных навыков

Устный опрос:

I.1. Что такое числовая последовательнось ?

2. Назовите способы задания числовой последовательности?

3. Какой метод назвали рекуррентным?

4. Дайте определение арифметической прогрессии?

II. Математический диктант с взаимопроверкой:

1) Записать формулу n-го члена арифметической прогрессии, через ее первый член и разность арифметической прогрессии.

2) Записать формулу n-го члена арифметической прогрессии, зная её соседние члены.

3)Записать формулу суммы первых n-членов арифметической прогрессии, по её первому формулу суммы первых n-членов арифметической прогрессии, по её первому и n-члену.

4) Записать формулу суммы первых n-членов арифметической прогрессии, по её первому формулу суммы первых n-членов арифметической прогрессии, по её первому члену и разности арифметической прогрессии.

Обучающиеся меняются тетрадями и производят взаимопроверку.(ответы записаны на доске)

Критерии оценивания: «5»- 4 правильных ответа

«4»-3 правильных ответа

«3»- 2 правильных ответа

III. На доске записаны последовательности, ответьте на следующие вопросы:

1) Последовательность   задана формулой: 

Какой номер имеет член этой последовательности, если он равен 144? 225? 100?

являются ли членами этой последовательности числа 48? 49? 168?

2) О последовательности   известно, что 

Как называется такой способ задания последовательности?

Найдите первые три члена этой последовательности.

3) О последовательности  известно, что 

Как называется такой способ задания последовательности?

Найдите третий член этой последовательности

4) Найдите для каждой последовательности следующие два члена:

2; 6; 10; 14; 18; …

11; 8; 5; 2; -1; …

5; 5; 5; 5; 5; …

5) Найдите член арифметической прогрессии, обозначенный буквой:

 …; 6; х; 10; 12; …

…; 11; х; 19; 23; …

…; 7; х; 13; 16; …

3. Решение задач на повторение формул:

Задание 1. Ракета за 1 секунду пролетела 300 м. За каждую следующую пролетала на 200 м больше, чем за предыдущую. Какое расстояние (в км.) пролетела ракета за 6 секунд.

Дано: м, м. Найти: .

Решение:

4800 м = 4,8 км

Ответ:4,8 км.

Задание 2. Найти сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 170.

Решение:

Ответ: 3612.

Задание 3. Дана арифметическая прогрессия (a_n) задана условием

^a_n ^{= -0,6+8,6n}. Найдите сумму первых 10 её членов.

Физкультминутка.

Задание 4. Фигура составляется из квадратов так, как показано на рисунке.

Задание 5. Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии: 7,6; 7,4; …

4. Самостоятельная работа(приложение №2).

4.Подведение итогов урока.

5.Домашнее задание: п.7.2(повторить основные формулы), А: №473, В: №472, С: №471.

6.Рефлексия: «Ресторан».  предлагает ученикам представить, что сегодняшний день они провели в ресторане и теперь директор ресторана просит их ответить на несколько вопросов:

- Я съел бы еще этого…

- Больше всего мне понравилось…

- Я почти переварил…

- Я переел…

- Пожалуйста, добавьте…

Приложение 1.

Задание 1. Ракета за 1 секунду пролетела 300 м. За каждую следующую пролетала на 200 м больше, чем за предыдущую. Какое расстояние (в км.) пролетела ракета за 6 секунд.

Задание 2. Найти сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 170.

Задание 3. Дана арифметическая прогрессия (a_n) задана условием

^a_n ^{= -0,6+8,6n}. Найдите сумму первых 10 её членов.

Задание 4. Фигура составляется из квадратов так, как показано на рисунке.

Задание 5. Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии: 7,6; 7,4; …

Приложение №2

Задачи обязательного уровня А

№1.Определите, является ли заданная последовательность арифметической прогрессией.

1. 2; 4; 6; 8; 10; 12;…

2. б) 3; 1; 3; 1; 3; …

№2.Доказать, что последовательность, заданная формулой n-ого члена a_n=-1,5+4n, является арифметической прогрессией.

№3.Записать первые шесть членов арифметической прогрессии, если

а) a₁=-3; d=2 b) a_n=3-2n

1. Ответ:-3; -1; 1; 3; 5; 7.

2. Ответ: 1; -1; -3; -5; -7; -9.

№4. Найдите сто тридцатый член арифметической прогрессии, если a₁=-1,2; d=

Ответ: a₁₃₀=7,8

№5.Число –29 является членом арифметической прогрессии 21; 16; 11; …

1. Найдите номер этого члена.a₁₁=-29.

б) Является ли число –10 членом этой прогрессии? нет

в) Является ли число 30 членом этой прогрессии? нет

№1. Выясните, является ли последовательность, заданная формулой n-ого члена, арифметической прогрессией? Если да, то укажите первый член и разность прогрессии.

а) a_n=3*2ⁿ нет

б) a_n= d=-1 . Да, a₁= .

№2. Запишите формулу n-ого члена арифметической прогрессии, если известно, что a₇=-5; a₁₂=55.

Ответ: a_n=12n-89 .

№3. Найдите седьмой член арифметической прогрессии, если известно, что a₃+a₁₁=20.

Ответ: а₇=10

№4. Сколько нужно взять членов в арифметической прогрессии, первый член которой равен 16, а разность равна 8, чтобы сумма членов составила 1840?

Ответ:n=20.

№5. Найдите те значения x, при которых числа 5х+2; 7х+1; 3х-6 образуют арифметическую прогрессию.

Задачи повышенной сложности С

№1. При каких значениях a корни уравнения 3х³-(а+1)х²+(а-2)х=0, взятые в определенном порядке, составляют арифметическую прогрессию?

Ответ:a=-1; 3,5; 8

№2. Найти х из уравнения (х+1)+(х+4)+(х+7)+…+(х+28)=155

Ответ:x=1.

№3. В арифметической прогрессии S_n-a₁-a_n=21; S_n-a₂-a_n-a₁-a_n-1=7. Найдите S_n и n.

Ответ:S_n=35; n=5.

№4. Вычислите первый член арифметической прогрессии с разностью 8, зная, что сумма первых десяти членов в 4 раза больше суммы первых пяти членов.

Ответ: a₁=4.

№5. Найти сумму первых тридцати нечетных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 1.

Ответ: S₃₀=4380.