Алгоритм извлечения квадратного корня уголком

Алгоритм извлечения квадратного корня уголком

Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью. К недостаткам способа можно отнести увеличивающуюся сложность вычисления с увеличением количества найденных цифр. Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком

1. От запятой отдельно дробную и отдельно целую части делим на грани по две цифры в каждой грани (целую часть — справа налево; дробную — слева направо). Возможно, что в целой части может оказаться одна цифра, а в дробной — нули.

2. Извлечение начинается слева направо. Подбираем число, квадрат которого не превосходит числа, стоящего в первой грани.

3. Это число возводим в квадрат и записывает под числом, стоящим в первой грани.

4. Находим разность между числом, стоящим в первой грани, и квадратом подобранного первого числа.

5. К получившейся разности сносим следующую грань, полученное число будет делимым. Образовываем делитель. Первую подобранную цифру ответа удваиваем (умножаем на 2), получаем число десятков делителя, а число единиц должно быть таким, чтобы его произведение на весь делитель не превосходило делимого. Подобранную цифру записываем в ответ.

6. К получившейся разности сносим следующую грань и выполняем действия по алгоритму (удваиваем число, образованное двумя найденным цифрами, подбираем число единиц такое, чтобы его произведение на весь делитель не превосходило делимого, записываем подобранную цифру в ответ). Если данная грань окажется гранью дробной части, то в ответе ставим запятую.

Пример 1. Вычислим

1. Разбиваем число 6241 справа налево на грани по две цифры: 6241.

2. Извлекаем квадратный корень из первой слева группы. Найдем ближайший квадрат цифры, которая меньше 62, это квадрат 7 (7² = 49

3. Находим квадрат первой цифры (7² = 49) и запишем число 49 под числом 62.

4. Находим разность первой группы и квадрата первой цифры (62 – 49 = 13).

5. Сносим следующие две цифры (получили число 1341).

6. Удваиваем первую, найденную нами цифру, записываем слева за чертой (7*2=14).

7. Ищем вторую цифру числа-ответа: удвоенная первая цифра, найденная нами, становится цифрой десятков числа, при умножении которого на число единиц, необходимо получить число меньшее или равное 1341 (это цифра 9, 149*9=1341). Значит, 9 – вторая цифра числа-ответа.

^– 49

149 1341

9 1341

0

Пример 2. Вычислим

1. Разбиваем число 5963364 на грани по две цифры справа налево: 5963364.

2. Извлекаем квадратный корень из первой слева группы:

( – число 2). Значит, первая цифра искомого числа = 2.

3. Находим квадрат первой цифры (2²=4).

4. Находим разность первой группы и квадрата первой цифры (5 – 4 = 1).

5.Сносим следующие две цифры (получили число 196).

6. Удваиваем первую, найденную нами цифру, записываем слева за чертой (2*2=4).

7. Ищем вторую цифру искомого числа: удвоенная первая цифра, найденная нами, становится цифрой десятков числа, при умножении которого на число единиц, необходимо получить число, не превосходящее 196 (это цифра 4,
44*4 = 176). Значит, 4 – вторая цифра искомого числа.

8. Находим разность (196 – 176 = 20).

9. Сносим следующую группу (получаем число 2033).

10. Удваиваем число 24, получаем 48.

11. 48 десятков в числе, при умножении которого на число единиц, мы должны получить число, не превосходящее 2033 (484*4 = 1936). Найденная нами цифра единиц (4) и есть третья цифра искомого числа.

12. Находим разность (2033 – 1936 = 97).

13. Сносим следующую группу (получаем число 9764).

14. Удваиваем число 244, получаем 488.

15. 488 десятков в числе, при умножении которого на число единиц, мы должны получить число не превосходящее 9764 (4882*2 = 9764). Значит, 2 – последняя цифра искомого числа.

Итак,

Пример 3. Вычислим

1. Число под корнем разбиваем на грани по две цифры справа налево: 655901.

2. Извлекаем квадратный корень из первой грани, т.е. из числа 65, получаем число 8. Под первой гранью пишем квадрат числа 8 и вычитаем. К остатку приписываем вторую грань (59):

(число 159 – первый остаток).

3. Удваиваем найденный корень и пишем результат слева:

4.Отделяем в остатке (159) одну цифру справа, слева получаем число десятков (оно равно 15). Затем делим 15 на удвоенную первую цифру корня, т.е. на 16, так как 15 на 16 не делится, то в частном получается нуль, который записываем как вторую цифру корня. Итак, в частном получили число 80, которое опять удваиваем, и сносим следующую грань (01):

(число 15901 – второй остаток).

5. Отделяем во втором остатке одну цифру справа и полученное число 1590 делим на 160. Результат (цифру 9) записываем как третью цифру корня и приписываем к числу 160. Полученное число 1609 умножаем на 9 и находим следующий остаток (1420):

6. Так как в целой части грани закончились, то нужно поставить запятую в искомом числе (809,…). Следующую грань (00) сносим из дробной части. В дальнейшем действия выполняются в той последовательности, которая указана в алгоритме (корень можно извлекать с нужной степенью точности).