Алгебраическая форма комплексного числа

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Алгебраическая форма комплексного числа.

Числовые множества

• N - натуральные (1, 2, 3, …)
• Z - целые ( –17; +23; …)
• Q - дробные (-35,7; +69,31; …)
• R - действительные (вещественные)
• C - комплексные числа

Число, квадрат которого равен –1 называется мнимой единицей и обозначается i или j

Степени мнимой единицы

Мнимым числом называется произведение мнимой единицы на действительное число.

Примеры: 2j;

-5,3j;

Комплексным числом называется число вида a+bj , где a и b-произвольные действительные числа, j – мнимая единица.

a –действительная часть КЧ;

bj – мнимая часть КЧ

b – коэффициент мнимой части.

z=a+bj алгебраическая форма кч

z=a+bj

a=0

b=0

Мнимое число

z=bj

Действительное число

z=a

Комплексные числа называются равными , если равны их действительные части и коэффициенты мнимых частей.

z 1 =z 2 , если a 1 =a 2 , b 1 =b 2

КЧ равно нулю если равны нулю его действительная часть и коэффициент мнимой части.

z=0 , если a=0 , b=0

z=0+0j

Модулем комплексного числа называется квадратный корень из суммы квадратов его действительной и коэффициента мнимой части.

Найдите модуль кч:

• z 1 =3+4j
• z 2 =2-7j
• z 3 =3-4j
• z 4 =-2-3j

КЧ называются сопряженными , если они различаются только знаком коэффициента мнимой части.

z=a+bj z=a- bj

Модули сопряженных чисел равны.

Являются ли числа сопряженными?

нет

• 7+3j и -7+3j
• 2-5j и 2+5j
• 2,4j+11 и -2,4j+11
• 8+6j и -8-6j
• -7+5j и 7-5j
• 2+3j и 2+3j
• 9-4j и 4j+9

да

да

нет

нет

-7+3j

нет

да

Каждому комплексному числу в комплексной плоскости ставится в соответствие одна, и только одна точка; или один, и только один вектор с началом в начале координат и концом в точке с координатами (a; b).

Ось мнимых чисел

z 1 =2-3j

y j

x=a=2

y=b=-3

z 2

5j

z 2 =-4+5j

x=-4

y=5

2

-4

x

-3j

Ось действительных чисел

z 1

Геометрическая сумма комплексных чисел

y j

z 1 =2-3j

z 2 =4+5j

z 2

5j

z=z 1 +z 2

По правилу параллелограмма

z=z 1 +z 2

2j

z=6+2j

6

2

x

4

-3j

z 1

Геометрическая разность комплексных чисел

y j

z 1 =2-3j

z 2 =4+5j

z 2

5j

z=z 1 -z 2

z 3= -z 2

-2

2

x

4

z=z 1 +z 3

-3j

z 1

z=z 1 +(-z 2 )

z 3

-8j

z=z 1 -z 2

Z=-2-8j

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Складывать и вычитать КЧ можно только в алгебраической форме. Извлечения корня в алгебраической форме не делают.

!

!

!

= -1

z 1 =a 1 +b 1 j z 2 =a 2 +b 2 j

1) Сумма кч

(b 1 +b 2 )j

(a 1 +a 2 )+

a 1 +b 1 j+a 2 +b 2 j=

z 1 +z 2 =(a 1 +b 1 j)+(a 2 +b 2 j)=

2) Разность кч

(b 1 - b 2 )j

(a 1 - a 2 )+

a 1 +b 1 j - a 2 - b 2 j=

z 1 -z 2 =(a 1 +b 1 j)-(a 2 +b 2 j)=

3) Произведение кч

a 1 a 2 +a 1 b 2 j+

z 1 ·z 2 =(a 1 +b 1 j)·(a 2 +b 2 j)=

a 2 b 1 j + b 1 b 2 j 2 =

(a 1 a 2 - b 1 b 2 )+

(a 1 b 2 + a 2 b 1 )j

=a 1 a 2 +a 1 b 2 j+

a 2 b 1 j - b 1 b 2 =

= -1

z 1 =3+5 j z 2 =2-6 j

1) Сумма

5 - j

(3+2)+ (5-6)j=

3+5j+2-6j=

z 1 +z 2 =(3+5j)+(2-6j)=

2) Разность

(3 - 2)+(5+6)j=

(3 - 2)+(5-(-6))j=

z 1 -z 2 =(3+5j)-(2-6j)=

1+11j

3) Произведение

3·2+3·(-6)j+

z 1 ·z 2 =(3+5j)·(2-6j)=

2·5j + 5·(-6)j 2 =

10j – 30·(-1)=

=6-18j+

36-8j

10j + 30=

(6 +30)+(-18+10)j=

= -1

= -1

z 1 =a 1 +b 1 j z 2 =a 2 +b 2 j

Домножаем числитель и знаменатель на число сопряженное знаменателю

4) Деление кч

a 1 +b 1 j

·(a 2 -b 2 j)

a 1 a 2 -a 1 b 2 j+ a 2 b 1 j - b 1 b 2 j 2

(a 1 +b 1 j)

=

=

=

z 1 :z 2 =

(a 2 +b 2 j)

·(a 2 -b 2 j)

a 2 +b 2 j

a 2 a 2 -a 2 b 2 j+a 2 b 2 j - b 2 b 2 j 2

(a 1 a 2 + b 1 b 2 )+ (a 2 b 1 -a 1 b 2 )j

a 1 a 2 -a 1 b 2 j+ a 2 b 1 j + b 1 b 2

=

=

=

a 2 2 +b 2 2

a 2 2 +b 2 2

a 1 a 2 + b 1 b 2

a 2 b 1 -a 1 b 2

=

+

j

a 2 2 +b 2 2

a 2 2 +b 2 2

5) Возведение в степень производится по формулам сокращенного умножения

= -1

= -1

z 1 =3+5 j z 2 =2-6 j

Домножаем числитель и знаменатель на число сопряженное знаменателю

4) Деление

3+5j

(3+5j)

·(2+6j)

3·2+3·6j+ 2·5j + 5·6j 2

=

=

z 1 :z 2 =

=

2 2 - 6 2 j 2

·(2+6j)

(2-6j)

2-6j

(6-30)+ (18+10)j

6+18j+ 10j + 30(-1)

=

=

=

4+36

40

-24

28

7

3

= - 0,6+0,7j

j

+

= -

j

+

=

5

10

40

40

·(-j)

5)

6)

?

z 1 +z 2 =

z 1 =3

z 2 =5j

3+5j

7)

?

z 1 +z 2 =

z 2 =-2j

z 1 =6

6-2j

Свойства сопряженных чисел.

доказать самостоятельно

• Сумма двух сопряженных чисел есть число, равное 2а.
• Разность двух сопряженных чисел есть мнимое число, равное 2bj.
• Произведение сопряженных чисел есть квадрат их общего модуля.

Геометрическое умножение на ± j и на -1

y j

z

z·j

x

z·(-j)

z·(-1)

Геометрическое умножение на ± j и на -1

• Умножению числа на j (-j) соответствует поворот вектора на 90 0 в положительном (отрицательном) направлении (против часовой стрелки) .
• Умножению числа на –1 соответствует поворот вектора на 180 0 .