Алгебра-9 "Способы задания функций"

Алгебра, 9-й класс

Тема «Способы задания функции»

Описание урока:  Объяснение нового материала. Рассматриваются способы задания функций, на примерах нестандартных функций (кусочно-заданная, точечно-заданная, с областью определения в одно значение). Задания для объяснения нового материала подготовлены в виде слайдов программы Power Point, где планируется: частичное скрытие выводимой информации, работа с готовыми графиками, запись формул, вычисления и прочее…

Цели урока:  изучить способы задания функции, научить применять эти способы при выполнении упражнений, способствовать развитию навыков чтения и построения графиков функции.

Задачи урока:
Образовательные:
• Закрепление знаний и умений по теме: «Числовые функции».
• Совершенствование навыков нахождения области определения и области значения функций.
Развивающие:
• Формирование умений анализировать, сравнивать, обобщать и систематизировать.
Воспитательные:
• Содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, умению общаться, аргументировано отстаивать свои взгляды.

Тип урока: Урок изучения нового материала.

Оборудование: компьютер, мультимедиапроектор, задачник.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

2. Повторение основных функций

Учитель: – Здравствуйте. Сегодня у нас гости, и я попрошу вас быть внимательнее, собраннее, чтобы не ударить в грязь лицом.

Мы продолжаем работу с числовыми функциями. Назовите функции, с которыми вы уже знакомы.

(квадратичная, линейная, прямая пропорциональность, корень квадратный, …)

Учитель: Определение функции является одним из главных определений школьного курса алгебры.

1. Скажите, пожалуйста, когда говорят о том, что функция задана? Дайте определение функции?

(Если даны числовое множество Х и правило, позволяющее поставить в соответствие каждому элементу х из множества Х определенное единственное число у, то говорят, что задана функция у = f(х) с областью определения Х. При этом переменную х называют аргументом или независимой переменной, а переменную у – зависимой переменной.)

2. Что такое область определения функции? Как она обозначается?

(Множество Х, откуда берутся значения независимой переменной х)

3. Что называется областью значений функции? Как она обозначается?

(Множество всех значений функции у =F(х))

Учитель: Сегодня мы расширим свои представления о функции: а именно, научимся задавать функцию разными способами. (Слайд 1)

Откройте тетради и запишите сегодняшнее число…

и тему урока «Способы задания функции»

3. Изучение нового материала (Рассмотреть способы задания функций)

Учитель: Какие уравнения соответствуют выше названным функциям? Вот у меня есть несколько уравнений – помогите установить соответствие между функцией и ее уравнением.

( у = ах²+вх +с; у = кх +m; у = кх; у =│х│)

Т.е. функции были заданы формулой, а если кусочная функция – то несколькими формулами – такой способ задания функции называется аналитическим. (Щелчок)

А скажите, любая ли формула задает функцию?

(нет, например х² + у² = 9 окружность, не явл-ся функцией, т.к…..)

Учитель: Для перечисленных функций мы строили графики. Как называются эти линии?

( парабола, прямая, прямая, проходящая через начало координат,…)

Итак, когда на координатной плоскости задана некоторая линия отражающая соответствие между значениями независимой переменной, взятыми из области определения и соответствующими им единственными значениями зависимой переменной, то говорят, что функции задана графически. Проще говоря, если заданы графики функций, то речь идет о графическом способе задания функции. Кроме математики, этот способ часто используется в физике, экономике. (Щелчок)

Учитель: Итак, мы рассмотрели два способа задания функции: аналитический и графический. Сравнительно легко перейти от аналитического способа задания функции к графическому способу задания функции, мы этим занимались, начиная с 7 класса, когда строили графики конкретных функций. А вот обратный процесс значительно сложнее. Но это хотя и трудная, но интересная задача.

Задание 1: Попробуйте самостоятельно записать уравнения данных линий.

(Слайд 2)

(Самостоятельна работа с последующей самопроверкой 3-5 мин.)

Проверяем. Поставьте себе соответствующие оценки. Поднимите руки у кого «5», «4». Молодцы!

Скажите, а все ли эти линии являются графиками функций?

(нет, окружность не является)

Для каждой функции, используя ее график, устно укажите D(f) и E(f)

(Слайд 1)

Существует еще один, тоже хорошо известный вам способ задания, табличный. Например, таблица квадратов, кубов чисел, квадратных корней и др. Во многих случаях табличное задание функции является очень удобным, оно позволяет найти значение функции для имеющихся в таблице значений аргумента без вычислений.

Мы почти на каждом уроке используем - какую таблицу?...

Аналитический, графический, табличный способы задания функции – наиболее простые, а потому и наиболее популярные.

На самом же деле в математике имеется довольно много различных способов. Вот, например, еще один – словесный, когда правило задания функции описывается словами. (Щелчок)
(Функция у = f(x) задана на множестве неотрицательных чисел с помощью следующего

правила: каждому числу х ставится в соответствие его квадратный корень.)

Учитель: А теперь попробуем на практике поработать с различными способами задания функции:

4. Закрепление материала (Слайд 3)

Задать функцию различными способами:

1. Функция задана таблицей.  Составьте словесное описание функции.

(Ответ: Функция задана на множестве однозначных натуральных чисел. Каждому значению аргумента ставится в соответствие  его квадрат.)

2. Задайте следующую функцию аналитически: Функция задана на промежутке (- ∞; +∞). Каждому значению аргумента ставится в соответствие удвоенное его значение. (у = 2х)

Учитель: Графическое задание функции мы используем при решении уравнения (Работа по учебнику) № 9 (а – у доски, б – самостоятельно)

№ 6 (а, б)

5. Итог урока:

Учитель: Итак, мы дали понятие функции, разобрали различные способы задания функции и выяснили, что функция – одно из основных понятий в математике. А в заключении я прошу __Олю____ познакомить нас с небольшой исторической справкой:

(сообщение ученика) Понятие функции прошло сложный путь. Оно уходит корнями в ту далекую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они знали, чем больше они наловят рыбы, тем дольше племя будет избавлено от голода, чем дольше горит костер, тем теплее. Идея зависимости величин восходит к древней науке. Сам термин «функция» возник лишь в 1664 году в работах немецкого ученого Лейбница, а определение функции, свободное от геометрических образов дал его ученик Бернулли в 1718 году. Леонард Эйлер определяет функцию так: «Величины, зависящие от других так, что с изменением вторых меняются и первые, называются функцией». Русский математик Игнатьев, проезжая через уездный город, узнал, что в городе есть чудо-математик, который решает всякую предложенную задачу быстро при помощи шахматной доски.

Игнатьев в заключении своего рассказа о путешествии сказал: «Очень важно, чтобы не только ученик мог пользоваться графиком при решении задач, но и всякий любитель точных знаний». Символ f, которым мы пользуемся, обозначая функцию, изобрел в 1733 году французский математик Клеро.

Учитель: А сейчас, я предлагаю вам поразмышлять о том, что говорили математики - в мире всё зависимо: Наступает весна, длинней становится день. Солнце садится за горизонт – становится темно. Приведите и вы зависимости, которые встречаются в жизни. (приводят….)

Учитель: Математика удивительная наука, на математическом языке можно описать многие явления природы, законы, взаимосвязи, в том числе и те, которые вы назвали. Функция – выражает зависимости между величинами. Устанавливая соответствие, можно воедино связать весь окружающий нас мир.

6. Домашнее задание. Запишите задание на дом: (Слайд 4)

Д/з у вас есть – блок 2 и творческое задание (дополнительное): придумайте функцию, задаваемую аналитически, графически, таблично и словесной формулировкой. (Функции могут быть разными, а может быть одна функция, заданная всеми четырьмя способами.)

Всем спасибо, урок окончен, до свидания.

Тема: «СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ». (Класс: 9)

Цель урока:
• Рассмотреть способы задания функции: аналитический, графический, табличный, словесный.
• Закрепить эти понятия в ходе выполнения упражнений.
Задачи урока:
Образовательные:
• Закрепление знаний и умений по теме: «Числовые функции».
• Совершенствование навыков нахождения области определения и области значения функций.
Развивающие:
• Формирование умений анализировать, сравнивать, обобщать и систематизировать.
Воспитательные:
• Содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, умению общаться, аргументировано отстаивать свои взгляды.
Тип урока: Урок изучения нового материала.
Материалы и оборудование: Персональный компьютер, мультимедийный проектор, экран, карточки-задания.
План урока:
1. Актуализация знаний.
2. Главный вопрос урока: «Что значит задать функцию?»
3. Способы задания функции: аналитический, графический, табличный, словесный.
4. Выполнение упражнений на закрепление материала.
5. Самостоятельная работа.
6. Подведение итогов урока.
7. Домашнее задание.

Ход урока:

I. Организационный момент.
II. Актуализация знаний.
Учитель: Здравствуйте.

(рассказ ученика) Большинство математических понятий прошли долгий путь развития. Сложный путь прошло и понятие функции. Оно уходит корнями в ту далекую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они знали, чем больше они наловят рыбы, тем дольше племя будет избавлено от голода, чем дольше горит костер, тем теплее. Идея зависимости величин восходит к древней науке. Сам термин «функция» возник лишь в 1664 году в работах немецкого ученого Лейбница, только его ученик Бернулли в 1718 году дал определение функции, свободное от геометрических образов. Леонард Эйлер определяет функцию так: «Величины, зависящие от других так, что с изменением вторых меняются и первые, называются функцией». Русский математик Игнатьев, проезжая через уездный город, узнал, что в городе есть чудо-математик, который решает всякую предложенную задачу быстро при помощи шахматной доски.

Игнатьев в заключении своего рассказа о путешествии сказал: «Очень важно, чтобы не только ученик мог пользоваться графиком при решении задач, но и всякий любитель точных знаний». Символ f , которым мы пользуемся, обозначая функцию, изобрел в 1733 году французский математик Клеро.

Учитель: Вы увидели разные представление о функции.

1. Дайте определение функции.
2. Что такое область определения функции?
3. Что называется областью значений функции?
Сегодня мы расширим свои представления о функции: а именно, научимся задавать функцию разными способами.
(Слайд 1) Тема нашего урока «Способы задания функции».
2) Индивдуальная работа по карточкам. (3 ученика работают у доски)
3) Проверка домашнего задания осуществляется следующим образом: сканируется домашняя работа, затем проецируется на интерактивную доску. Два ученика дают объяснения о ходе решения, остальные проверяют у себя и ,по необходимости вносят свои коррективы.
4) Фронтальная работа
 Слайд 3. Для каждого графика укажите D(f) и E(f). (3 задания с ответами)
 Слайд 4; 5. Верно ли, что D(f)=Е(f)? (4 задания, в виде игры
сигнальными карточками)
 Слайд 6. Укажите область определения функции.
(Самостоятельная работа последующей проверкой)
5) Проверка учащихся, работающих у доски по карточкам.

III . Новый материал.
 Слайд 7. В. Что значит задать функцию?
 Слайд 8. 1. Чаще всего это правило связано с формулой
или несколькими формулами – такой способ
называется аналитическим.
(работа со слайдом 8)
Задание. Любая ли формула задает функцию? (4 задания с ответами)
 Слайд 9. 2. Есть и другой способ задания функции, с
которым мы очень часто встречались на уроках
алгебры, физики.
Это графический способ задания функции.
(работа со слайдом 9).
1. F –некоторая линия на координатной плоскости.
2. Спроецировав эту линию на ось х, мы получим отрезок
3. Возьмем произвольную точку х из отрезка и проведем через нее прямую, параллельно оси ординат.
Потребуем дополнительно, чтобы каждая прямая пересекала
линию F только в одной точке. Обозначим ее М.
5. Ордината точки М – это число f(x).
Тем самым на задана функция у = f(x).
Такой способ называется графическим, а линию F – графиком функции.
В. Что значит задать графически функцию?
В. Всякая ли линия на плоскости задает функцию?
 (работа со слайдом 10)

Задание. №235. (Фронтальная работа)
 Слайд 11. Является ли графическим заданием какой-либо функции фигура, изображенная на рисунке?
(Даны 4 рисунка, работа с интерактивной доской)
Итак, мы рассмотрели два способа задания функции: аналитический и графический.
Легко перейти от аналитического способа задания функции к графическому способу задания функции, мы этим занимались, начиная с 7 класса, а вот обратный процесс значительно сложнее. Но это хотя и трудная, но интересная задача.
 Слайд 12; 13. Задайте аналитически функцию, график которой изображен на рисунке.
(работа с интерактивной доской)
 Слайд 14. 3. Существует еще один, известный вам способ,
табличный.
Например, таблица квадратов, кубов чисел, квадратных корней и др.
Во многих случаях табличное задание функции является удобным. Оно позволяет найти значение функции для имеющихся в таблице значений аргумента без вычислений.
(работа со слайдом 13)
Аналитический, графический, табличный – наиболее простые, а потому и наиболее популярные способы функции. Для нас этого пока вполне достаточно.
 Слайд 14. На самом деле в математике имеется довольно много различных способов. Я вас познакомлю еще с одним – словесным, когда правило задания функции описывается словами.
Следующий способ – словесный. (работа со слайдом 14)
Функция у = f(x) задана на множестве
однозначных натуральных чисел с помощью
следующего правила:
каждому числу х ставится в соответствие
удвоенное его значение.
В. Что является областью определения этой функции?
В. Что является множеством значений этой функции?
 Слайд 15. Задание. Функция задана таблицей:
Составьте словесное описание этой функции;
Изобразите функцию графически.
(работа с интерактивной доской)

I V.Итоги.
 Слайд 16. Что нового узнали на уроке?
Что нужно знать, чтобы задать функцию?
1. Знать D(f) .
2. Указать правило, которое позволяет произвольно выбранному значению х из D(f) найти соответствующее значение у.

V. Домашнее задание.
 Слайд 17. §8, № 240, 232, 226(в,г).
Творческое задание: придумайте функцию, задаваемую аналитически, графически, таблично и словесной формулировкой. (Функции могут быть разными, а может быть одна функция, заданная всеми четырьмя способами.)

VI. С/р. В - 1. № 237, № 221(а,б), №228 (а).
В – 2. № 238, № 221 (в,г), №228 (в).
(Работа выполняется на листочках, которые сдают на проверку)
 Слайд 18. Фронтальная проверка.
 Слайд 19. Урок окончен.

Приложение.
Карточка № 1.

1. Найдите область определения функции .
2. Что называется функцией?

Карточка № 2.

1. Найдите область определения функции .
2. Что называется областью определения функции?

Карточка № 3.

Дана функция где
а) Укажите D(f);
б) вычислите: f(-3); f(-1); f(4); f(5).
в) постройте график функции;
г) найдите E(f).

Автор: Мелёшина Вера Владимировна,
учитель I категории МОУ СОШ № 11
г. Орехово-Зуево, Московская область.

Урок алгебры по теме "Функция". 9-й класс

Цель урока: Через познавательную активность учащихся, желание добиться результатов, развивая умение учащихся анализировать, сравнивать, выделять главное, изучить способы задания функции. Ввести понятия: область определения функции, область значений функции.

Формы организации учебно-познавательной деятельности: индивидуальная, парная, групповая.

Оборудование: интерактивная доска.

Раздаточный материал: задачи, рисунки (приложение 1).

УМК: А.Г. Мордкович, Алгебра, 9 класс, 2000г.

Урок сопровождается презентацией. (Приложение 2)

В течение урока учащиеся будут заполнять таблицу: «Знаю – хочу узнать – узнал».

Ход урока

1.Стадия вызова.

Здравствуйте, ребята. Я предлагаю вам сегодня поразмышлять о том, что в мире всё зависимо. Наступает весна, длинней становится день.

Придумайте зависимости, которые встречаются в жизни.

Несколько пар приводят свои примеры. Каждая область знаний: физика, химия, биология и другие устанавливает свойства и, что особенно важно, взаимосвязи изучаемых объектов. А математика описывает всё это на своём математическом языке

Фраза на доске: (слайд 1, приложение 2)

Разуму свойственно размышлять, то есть связывать причины и следствия, давать ответ на вопрос «почему», выявлять случайное, обнаруживать закономерности, находить в цепи происходящего начала и концы. Ж.Фабр

О чём же сегодня пойдёт речь на уроке?

Так как с понятием функция учащиеся уже знакомы с 7-го класса, то должны догадаться о теме урока.

Тема нашего урока «Функция» (слайд 2, приложение 2)

Предлагается заполнить первый столбик таблицы: «Знаю – хочу узнать – узнал».

Вопрос классу: Что вы знаете о функциях? Предполагаемые ответы и записи в 1-м столбике:

Понятие функции (зависимость одной переменной от другой), график функции, виды: линейная, прямая пропорциональность, квадратичная, кусочные функции и т.д.

• Как на математическом языке представить зависимость одной величины от другой?

• Будет ли графиком функции являться фигура на рисунке №3?

• Чему будет равно значение функции y =  при х = 0?

На эти вопросы попробуем найти ответы. (Слайд 3, приложение 2) А может у вас ещё есть вопросы? Заполним 2-й столбик таблицы.

2. Стадия осмысления.

Во время данного этапа урока заполняется 2-й и 3-й столбики.

2.1. Каждому ряду предлагается задача.

1. Сосулька тает со скоростью 5 капель в минуту. Сколько капель упадёт на землю за:2 мин, 3 мин, 5 мин, 10 мин и т.д.?

2. При взлёте самолёта температура воздуха за бортом понижается на 6 градусов при подъёме на каждый километр. Построить график изменения температуры воздуха за бортом.

3. При напряжении на концах участка цепи, равном 2B, сила тока в проводнике равна 0,4 А. Составьте формулу зависимости силы тока от напряжения при постоянном сопротивлении.

По одному представителю от каждого ряда выходят к интерактивной доске и оформляют решение задач. (Слайды 4-6, приложение 2)

В каждой задаче задаётся зависимость одной величины от другой, которая на математическом языке называется функцией. Сколько значений зависимой переменной соответствует каждой независимой переменной?

Задача 1. Сколько капель упадёт на землю? Ребята составляют формулу и заполняют таблицу. Формула: y = 5x

Каждому значению x соответствует единственное значение y. Так что же такое функция?

Работа с учебником. Учащиеся находят определение функции.

Функция – это соответствие между множествами X и Y, при котором каждому элементу множества X соответствует единственный элемент множества Y. (Слайд 7, приложение 2)

y = f(x)
x – аргумент
у – значение функции (слайд 7, приложение 2)

Вопрос классу: Будет ли графиком функции являться фигура на рисунке №3? (слайд 8, приложение 2) Ответ обосновать. (Нет, так как одному значению x соответствует 2 значения y.)

Каковы же способы задания функции? Учащиеся заполняют таблицу, проговаривают, затем проверяем.

Способы задания функции: (слайд 9, приложение 2)

• графический

• аналитический

• табличный

• словесный.

2.2. Задача 4: (слайд 10, приложение 2) На складе было 500 т угля. Ежедневно стали увозить по 30 т угля. Сколько угля будет на складе через 2, 4, 10, 16, 20 дней? Ребята составляют математическую модель.

Математической моделью ситуации является линейная функция y = 500-30x. Находим значения y при заданных значениях x. При х = 16 на складе остаётся 20т угля. Процесс вывоза придётся прекратить. Во всех математических моделях реальных ситуаций необходимо говорить о тех ограничениях на х, которые вытекают из смысла задачи.

2.3.

Функция обладает многими свойствами. Важными среди них являются область определения и область значений.

Работа с учебником в парах. Ребята находят понятие области определения и области значений функции. Вводим обозначение, заполняется 3-й столбик.

2.4. Закрепление нового материала.

Предлагаются индивидуальные задания на нахождение области определения и области значений функций по рисункам, проводится взаимопроверка. Затем проверка с учителем. Работа с задачником. Выполнение заданий на нахождение области определения функций. Каждой паре по 2 задачи (№ 202, 207, 209) на выбор.

3. Рефлексия.

Что нового узнали на уроке? Повторить определение функции, способы задания, понятия области определения и области значений. Проанализировать таблицу. Что хотели узнать? Нашли ли ответы на поставленные вопросы?

Значит, функции обладают ещё некоторыми свойствами. О них мы поговорим на следующем уроке.

На математическом языке можно описать многие явления природы, законы, взаимосвязи. Функция – это одно из основных математических понятий, выражающих зависимости между величинами.

Устанавливая соответствие, можно воедино связать окружающий нас мир. (Слайд 11, приложение 2)

4. Домашнее задание

Приведите пример из жизненных ситуаций, которым можно задать функцию каким-либо способом. А если у вас появится желание, поразмышляйте о связях между нашими поступками и их последствиями.