Алгебра и начала математического анализа. Функция y=cos x

Занимательная математика

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс.

Урок на тему:

Функция y=cos(x).

Y=COS(X).

Что будем изучать:

Определение.

График функции.

Свойства.

Примеры.

Y=COS(X).

Определение.

Ребята, мы уже познакомились с функцией Y=sin(X).

Давайте вспомним одну из формул привидения:

sin(X+ π/2) = cos(X)

Благодаря этой формуле, мы можем утверждать что функции sin(X+ π/2) и cos(X) тождественны и их графики функций совпадают .

График функции sin(X+ π/2) получается из графика функции sin(X) параллельным переносом на π/2 единиц влево. Это и будет графиком функции

Y=cos(X).

График функции Y=cos(X)

так же называют

Синусоидой

Y=COS(X).

Свойства.

Запишем свойства нашей функции:

• Область определения – множество действительных чисел.
• Функция четная.

Давайте вспомним определение четной функции.

Функция называется четной если выполняется равенство – y(-x)=y(x).

Как мы помним из формул привидения: cos(-x)=-cos(x), определение выполнилось, тогда косинус – четная функция.

3) Функция Y=cos(X) убывает на отрезке [0; π] и возрастает на отрезке [π; 2π]

В этом мы можем убедиться на графике нашей функции.

Y=COS(X).

Свойства.

4) Функция Y=cos(X) – ограничена снизу и сверху.

Данное свойство следует из того, что -1≤cos(X) ≤1

5) Наименьшее значение функции равно -1 (при х = π+ 2πk)

Наибольшее значение функции равно 1 (при х = 2πk)

6) Функция Y=cos(X) – непрерываня функция . Посмотрим на график функции и убедимся что у нашей функции нет разрывов , это и означает непрерывность.

7) Область значений отрезок [- 1; 1] . Это так же хорошо видно из графика функции.

8) Функция Y=cos(X) - переодическая функция . Посмотрим опять на график и увидим, что функция принимает одни и те же значения , через некоторые промежутки .

Y=COS(X).

Пример

Решить уравнение cos(x)=

Решение:

Построим 2 графика функции: y=cos(x) и y=

(см. рисунок)

y= - это парабола, смещенная вправо на 2π и вверх на 1

Наши графики пересекаются в одной точке А(2π;1), это и есть ответ.

Ответ: x = 2π

Y=COS(X).

Пример

Построить график функции y=cos(x) при х ≤ 0 и y=sin(x) при x≥0

Решение:

Для того чтобы построить требуемый график, давайте построим два графика функции по “кусочкам”. Первый кусочек: y=cos(x) при х ≤ 0.

Второй кусочек y=sin(x) при x≥0. Изобразим оба “кусочка” на одном графике.

Y=COS(X).

Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=cos(x) на отрезке [π; 7π/4]

Решение:

Построим график функции и рассмотрим наш отрезок [π; 7π/4]

На графике функции видно что наибольшие и наименьшие значения, достигаются на концах отрезка, в точках π и 7π/4 соответсвенно.

Ответ: cos(π) = -1 – наименьшее значение, cos(7π/4) = наибольшее значение.

Y=COS(X).

Построить график функции y=cos(π/3-x)+1

Решение:

cos(-x)= cos(x), тогда искомый график получится путем переноса графика функции y=cos(x) на π/3 единиц вправо и 1 единицу вверх.

Y=COS(X).

Задачи для самостоятельного решения.

1)Решить уравнение cos(x)= x –π/2

2) Решить уравнение

3) Построить график функции y=cos(π/4+x)-2

4) Построить график функции y=cos(-2π/3+x)+1

5) Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=cos(x) на отрезке [0; 5π/3]

6) Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=cos(x) на отрезке [- π/6; 5π/4]