Четыре замечательные точки треугольника
медианы
серединные перпендикуляры
биссектрисы
высоты
Третья замечательная точка треугольника
Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке,
которая делит каждую в отношении 2: 1, считая от
вершины.
(центр тяжести треугольника – центроид)
В
Дано: АВС, AM ,ВК,СР - медианы
Р
М
Доказать: АМ ВК СР = О
О
Доказательство проведено ранее:
задача 1 п. 62.
С
К
А
Четвёртая замечательная точка треугольника
Теорема. Высоты треугольника или их продолжения
пересекаются в одной точке ( ортоцентр).
В
В
А
К
Н
А
С
К
М
М
О
М
В
С
А
Н
С(К,Н,О)
О
Дано: АВС, АК, ВН, СМ - высоты
Доказать: О – точка пересечения высот или их продолжений.
Доказательство:
Через вершины В, А, С треугольника АВС
проведём ЕТ АС, ЕУ ВС, ТУ АВ.
В
Е
Т
Получим:
АСВЕ – параллелограмм, значит, АС = ВЕ
АСТВ – параллелограмм, значит, АС = ВТ
К
М
О
Следовательно, ВЕ = ВТ, т. е. В – середина ЕТ.
С
А
Н
Т.к. ВН – высота АВС по условию, то ВН АС
Т. к. ЕТ АС по построению, значит, ВН ЕТ
Получим: ВН – серединный перпендикуляр к ЕТ.
Аналогично, СМ – серединный перпендикуляр к ТУ
и АК - серединный перпендикуляр к УЕ.
У
Т. е. ВН, СМ, АК – серединные перпендикуляры к сторонам ЕТУ,
которые по ранее доказанному пересекаются в одной точке,
значит, высоты АВС пересекаются в одной точке.
Задача № 680.
В
Дано: АВС, АМ = ВМ, М D AB,
AK = KC, DK AC, D є BC .
D
М
Доказать: D - середина ВС,
А = В + С.
1
2
С
А
Доказательство:
К
а)
D є BC по условию, значит, В D = AD
АМ = ВМ, М D AB,
BD = DC,
AK = KC, DK AC, D є BC по условию, значит, AD = DC
следовательно, D – середина ВС.
б) По доказанному
AD = DC , значит, треугольники АВ D
и
В D = AD
и АС D – равнобедренные, поэтому 1 = В, 2 = С.
ВАС = 1 + 2 = В + С, что и т. д.