8 кл Четыре замечательные точки треугольника 1 урок

Четыре замечательные точки треугольника

медианы

серединные перпендикуляры

биссектрисы

высоты

Свойство биссектрисы неразвёрнутого угла

Теорема1 . Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла

равноудалена от его сторон.

В

Дано: ВАС, АХ – биссектриса,

М є АХ, МЕ АВ, МК АС

Х

Е

М

Доказать: МЕ = МК

С

К

А

Теорема 2 ( обратная). Точка, лежащая внутри неразвёрнутого угла и равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе этого угла.

Обобщённая теорема: биссектриса неразвёрнутого угла –

множество точек плоскости,

равноудалённых от сторон этого угла.

Серединный перпендикуляр к отрезку

Теорема 1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку

равноудалена от его концов.

Р

Дано: АВ – отрезок,

РК – серединный перпендикуляр,

М є РК

М

Доказать: МА = МВ

В

А

К

Теорема 2. Точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на

серединном перпендикуляре к нему.

Обобщённая теорема: серединный перпендикуляр к отрезку –

множество точек плоскости,

равноудалённых от его концов.

Первая замечательная точка треугольника

Теорема. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

В

Дано: АВС, АЕ, ВТ – биссектрисы,

О - точка их пересечения

Р

М

Е

О

У

Доказать: СУ – биссектриса АВС, О є СУ

С

Доказательство:

Т

К

А

АЕ – биссектриса и ОМ АВ, ОК АС,

значит, ОМ = ОК

ВТ – биссектриса, и ОМ АВ, ОР ВС, значит, ОМ = О P

Значит, ОМ = ОК = ОР и ОР ВС, ОК АС, следовательно,

О лежит на биссектрисе угла АСВ, т. е. СУ – биссектриса АВС.

Значит, О – точка пересечения трёх биссектрис треугольника.

Вторая замечательная точка треугольника

Теорема. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника

пересекаются в одной точке.

В

Дано: АВС, k,n – серединные

перпендикуляры к сторонам

треугольника,

О – точка их пересечения

k

p

О

Доказать: р – серединный

перпендикуляр к ВС, О є р

Доказательство:

С

А

n

n – серединный перпендикуляр к АС и О є n , значит, ОА = ОС.

k – серединный перпендикуляр к АВ и О є k, значит, ОА = ОВ.

Следовательно, ОА = ОВ =ОС, значит, О лежит на серединном

перпендикуляре к стороне ВС, т. е. на р.

Значит, О – точка пересечения серединных перпендикуляров k, n, p.

Вторая замечательная точка треугольника (продолжение)

Ещё возможное расположение: