7 класс Решение задач по теме "Равнобедренный треугольник"

Задача 1.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, равна 8, а основание относится к боковой стороне как 6 : 5. Найти, на каком расстоянии от вершины треугольника находится точка пересечения его биссектрис.

Решение.

Пусть дан равнобедренный треугольник АВС (рис. 1).

1) Так как АС : ВС = 6 : 5, то АС = 6х и ВС = 5х. ВН – высота, проведенная к основанию АС треугольника АВС.

Так как точка Н – середина АС (по свойству равнобедренного треугольника), то НС = 1/2 АС = 1/2 · 6х = 3х.

2) Из треугольника ВНС – прямоугольного по теореме Пифагора

ВС² = ВН² + НС²;

(5х)² = 8² + (3х)²;

16х² = 64;

х² = 4;

х = 2, тогда

АС = 6х = 6 · 2 = 12 и

ВС = 5х = 5 · 2 = 10.

3) Так как точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной в него окружности, то 
ОН = r . Радиус вписанной в треугольник АВС окружности найдем по формуле

S = pr;

r = S/p.

4) S_ABC = 1/2 · (AC · BH); S_ABC = 1/2 · (12 · 8) = 48;

p = 1/2 · (AB + BC + AC); p = 1/2 · (10 + 10 + 12) = 16, тогда ОН = r = 48/16 = 3.

Отсюда ВО = ВН – ОН; ВО = 8 – 3 = 5.

Ответ: 5

Задача 2.

В равнобедренном треугольнике АВС проведена биссектриса АD. Площади треугольников ABD и ADC равны 10 и 12. Найти увеличенную в три раза площадь квадрата, построенного на высоте этого треугольника, проведенной к основанию АС.

Решение.

Рассмотрим треугольник АВС – равнобедренный, АD – биссектриса угла А (рис. 2).

1) Распишем площади треугольников ВАD и DAC:

S_BAD = 1/2 · AB · AD · sin α; S_DAC = 1/2 · AC · AD · sin α.

2) Найдем отношение площадей:

S_BAD/S_DAC = (1/2 · AB · AD · sin α) / (1/2 · AC · AD · sin α) = AB/AC.

Так как S_BAD = 10, S_DAC = 12, то 10/12 = АВ/АС;

АВ/АС = 5/6, тогда пусть АВ = 5х и АС = 6х.

АН = 1/2 АС = 1/2 · 6х = 3х.

3) Из треугольника АВН – прямоугольного по теореме Пифагора АВ² = АН² + ВН²;

25х² = ВН² + 9х²;

ВН = 4х.

4) S_AВС = 1/2 · AС · ВН; S_AВC = 1/2 · 6х · 4х = 12х².

Так как S_AВС = S_BAD + S_DAC = 10 + 12 = 22, тогда 22 = 12х²;

х² = 11/6; ВН² = 16х² = 16 · 11/6 = 1/3 · 8 · 11 = 88/3.

5) Площадь квадрата равна ВН² = 88/3; 3 · 88/3 = 88.

Ответ: 88.

Задача 3.

В равнобедренном треугольнике основание равно 4, а боковая сторона равна 8. Найти квадрат высоты, опущенной на боковую сторону.

Решение.

В треугольнике АВС – равнобедренном ВС = 8, АС = 4 (рис. 3).

1) ВН – высота, проведенная к основанию АС треугольника АВС.

Так как точка Н – середина АС (по свойству равнобедренного треугольника), то НС = 1/2 АС = 1/2 · 4 = 2.

2) Из треугольника ВНС – прямоугольного по теореме Пифагора ВС² = ВН² + НС²;

64 = ВН² + 4;

ВН² = 60;

ВН = √60.

3) S_ABC = 1/2 · (AC · BH), а так же S_ABC = 1/2 · (АМ · ВС), тогда приравняем правые части формул, получим

1/2 · AC · BH = 1/2 · АМ · ВС;

АМ = (AC · BH)/ВС;

АМ = (√60 · 4)/8 = (2√15 · 4)/8 = √15.

АМ² = 15.

Ответ: 15.

Задача 4.

В равнобедренном треугольнике основание и опущенная на него высота, равны 16. Найти радиус описанной около этого треугольника окружности.

Решение.

В треугольнике АВС – равнобедренном основание АС = 16, ВН = 16 – высота, проведенная к основанию АС (рис. 4).

1) АН = НС = 8 (по свойству равнобедренного треугольника).

2) Из треугольника ВНС – прямоугольного по теореме Пифагора

ВС² = ВН² + НС²;

ВС² = 8² + 16² = (8 · 2)² + 8² = 8² · 4 + 8² = 8² · 5;

ВС = 8√5.

3) Рассмотрим треугольник АВС: по теореме синусов

2R = AB/sin C, где R – радиус описанной около треугольника АВС окружности.

sin C = BH/BC (из треугольника ВНС по определению синуса).

sin C = 16/(8√5) = 2/√5, тогда 2R = 8√5/(2/√5);

2R = (8√5 · √5)/2; R = 10.

Ответ: 10.

Задача 5.

Длина высоты, проведенной к основанию равнобедренного треугольника, равна 36, а радиус вписанной окружности равен 10. Найти площадь треугольника.

Решение.

Пусть дан равнобедренный треугольник АВС.

1) Так как центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения его биссектрис, то О ϵ ВН и АО является биссектрисой угла А, а ток же ОН = r = 10 (рис. 5).

2) ВО = ВН – ОН; ВО = 36 – 10 = 26.

3) Рассмотрим треугольник АВН. По теореме о биссектрисе угла треугольника

АВ/АН = ВО/ОН;

АВ/АН = 26/10 = 13/5, тогда пусть АВ = 13х и АН = 5х.

По теореме Пифагора АВ² = АН² + ВН²;

(13х)² = 36² + (5х)²;

169х² = 25х² + 36²;

144х² = (12 · 3)²;

144х² = 144 · 9;

х² = 9;

х = 3, тогда АС = 2 · АН = 10х = 10 · 3 = 30.

4) S_ABC = 1/2 · (AC · BH); S_ABC = 1/2 · (36 · 30) = 540;

Ответ: 540

Задача 6.

В равнобедренном треугольнике две стороны равны 5 и 20. Найти биссектрису угла при основании треугольника.

Решение.

1) Предположим, что боковые стороны треугольника равны 5, а основание – 20.

Тогда 5 + 5  (рис. 6).

2) Пусть LC = x, тогда BL = 20 – x. По теореме о биссектрисе угла треугольника

АВ/АС = ВL/LC;

20/5 = (20 – x)/x,

тогда 4х = 20 – x;

x = 4.

Таким образом, LC = 4; BL = 20 – 4 = 16.

3) Воспользуемся формулой биссектрисы угла треугольника:

AL² = AB · AC – BL · LC,

тогда AL² = 20 · 5 – 4 · 16 = 36;

AL = 6.

Ответ: 6.