5 вариант,задания+ответы, ОГЭ 9 класс,матем, план участка

Вариант № 5

1. Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в ответ запишите последовательность четырёх цифр.

На плане изображено домохозяйство по адресу: с. Коткино, улица Садовая, д. 7 (сторона каждой клетки на плане равна 1 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота.

При входе на участок слева от ворот находится овчарня, отмеченная на плане цифрой 6. Площадь, занятая овчарней, равна 12 кв. м.

Жилой дом находится в глубине территории. Помимо овчарни и жилого дома, на участке имеются пристройка к дому и теплица, построенная на территории огорода (огород отмечен цифрой 2). Между пристройкой и овчарней расположен пруд. Также на участке есть курятник, расположенный рядом с домом.

Все дорожки внутри участка вымощены тротуарной плиткой размером 0,5 м × 0,5 м. Между овчарней и огородом имеется площадка, вымощенная такой же плиткой.

На участке планируется провести электричество.

Решение. У дома имеется пристройка, значит, пристройка к дому отмечена цифрой 3. Между пристройкой и овчарней расположен пруд, следовательно, пруд отмечен цифрой 5. Курятник расположен рядом с домом, значит, курятник отмечен на плане цифрой 7. Теплица находится на территории огорода, следовательно, теплица отмечена цифрой 1.

Ответ: 5371.

2. Тротуарная плитка продаётся в упаковках по 5 штук. Сколько упаковок плитки понадобится, чтобы выложить все дорожки и площадку между овчарней и огородом?

Решение. Заметим, что, поскольку одна плитка имеет площадь 0,25 м², для площадки между овчарней и огородом понадобится 108 плиток. Для того чтобы выложить все дорожки, понадобится ещё 20 плиток. Значит, всего необходимо

108 + 20 = 128 плиток.

Теперь найдём, сколько упаковок плитки понадобилось: 

Следовательно, чтобы выложить все дорожки и площадку перед верандой понадобится 26 упаковок плитки.

Ответ: 26.

3. Найдите площадь, которую занимают жилой дом и пристройка к нему (в м²).

Решение. Площадь жилого дома равна

 м².

Площадь пристройки равна

 м².

Таким образом, площадь, которую занимают жилой дом и пристройка к нему, равна 25 + 6 = 31 м².

Ответ: 31.

4. Найдите расстояние от одного угла овчарни до противоположного в метрах.

Решение. Найдём расстояние от одного угла овчарни до противоположного по теореме Пифагора:

 м.

Ответ: 5.

5. Хозяин участка планирует провести на участок электричество. Он рассматривает два варианта: купить генератор или продлить до своего дома линию электропередач. Данные о расходе и стоимости топлива (электроэнергии), а также о стоимости покупки (работ) указаны в таблице.

Обдумав оба варианта, хозяин решил купить генератор. Через сколько часов непрерывного использования электроэнергии экономия от использования генератора вместо линии электропередач компенсирует разность в стоимости организации электричества на участке?

Решение. Чтобы провести линию электропередач, понадобится 73 000 руб. Чтобы купить генератор, понадобится 107 200 руб. Разница в стоимости составляет 107 200 − 73 000 = 34 200 руб. Час использования электроэнергии от генератора стоит 50 · 4 = 200 руб. Час использования электроэнергии от линии электропередач стоит 7 · 34 = 238 руб. Разница в стоимости составляет 38 руб. Значит, экономия от использования генератора вместо линии электропередач компенсирует разность в стоимости организации электричества на участке через   часов.

Ответ: 900.

6. Вычислите:  

Решение. Приведём дроби к общему знаменателю:

Ответ: 5,45.

7. Какое из данных ниже чисел принадлежит отрезку [3; 4]?

1) 

2) 

3) 

4) 

Решение. Рассмотрим каждое из чисел:

1. 

2. 

3. 

4. 

Таким образом, первое число принадлежит отрезку [3; 4].

Ответ: 1.

8. Упростите выражение     и найдите его значение при   .

Решение. Упростим выражение:

Найдем значение выражения при  :

Ответ: −0,5.

9. Решите уравнение 

Решение. Умножим обе части уравнения на 6:

Ответ: 1.

10. У бабушки 10 чашек: 7 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

Решение. Количество чашек с синими цветами равно 10 − 7 = 3. Поэтому вероятность того, что бабушка нальёт чай в чашку с синими цветами равна 3 : 10 = 0,3.

Ответ: 0,3.

11. Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) 

Б) 

В) 

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

Решение. Напомним, что если прямая задана уравнением  , то: при   тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс положителен.

Уравнение   задает прямую, которая пересекает ось ординат в точке 3. Ее график изображен на рисунке 1).

Уравнение   задает прямую, которая пересекает ось ординат в точке 0. Ее график изображен на рисунке 3).

Уравнение   задает прямую, которая пересекает ось ординат в точке -3. Ее график изображен на рисунке 2).

Тем самым, искомое соответствие: А — 1, Б — 3, В — 2.

Ответ: 132.

12. В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) рассчитывается по формуле   , где t — длительность поездки, выраженная в минутах   . Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 15-минутной поездки.

Решение. Подставим время в формулу для расчета стоимости поездки. Имеем:

Ответ: 260.

13. Найдите наименьшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств

Решение. Решим систему:

Искомое наименьшее решение равно −6.

Ответ: −6.

14. Клиент взял в банке кредит в размере 50 000 р. на 5 лет под 20% годовых. Какую сумму он должен вернуть в банк в конце срока, если проценты начисляются ежегодно на текущую сумму долга и весь кредит с процентами возвращается в банк после срока?

Решение. Пусть S₀ = 50 000 руб., r = 0,2. Тогда сумма S (в рублях), которую необходимо вернуть, составляет

 рублей.

Ответ: 124 416.

15.

В треугольнике ABC известно, что  , BM — медиана,  . Найдите AM.

Решение. Так как BM — медиана, следовательно, 

Ответ: 8

16.

Найдите градусную меру центрального ∠MON, если известно, NP — диаметр, а градусная мера ∠MNP равна 18°.

Решение. Треугольник MON — равнобедренный. Тогда ∠MON = 180° − 2·18° = 144°.

Ответ: 144.

17.  Периметр ромба равен 40, а один из углов равен 60°. Найдите площадь ромба, делённую на  .

Решение. Так как все стороны ромба равны, сторона данного ромба равна 10. Площадь ромба равна произведению сторон на синус угла между ними, поэтому

Ответ: 50.

----------

В открытом банке иррациональный ответ.

18.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

Решение. По рисунку видно, что длина большей диагонали равна 6.

Ответ: 6.

19. Какие из следующих утверждений верны?

1) Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны.

2) Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между их центрами равно 3, то эти окружности не имеют общих точек.

3) Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются.

4) Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

1) «Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны.» — неверно, вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны, если их вершины лежат по одну сторону от хорды.

2) «Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между их центрами равно 3, то эти окружности не имеют общих точек.» — неверно, окружности имеют две общие точки.

3) «Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются.» — верно, если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то прямая и окружность имеют две общие точки.

4) «Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°.» — верно, вписанный угол измеряется половиной дуги,на которую он опирается.

Ответ: 34.

20. Решите неравенство 

Решение. Последовательно получаем:

Произведение двух множителей меньше нуля тогда и только тогда, когда знаки множителей различны, следовательно:

Ответ: [-1; 1].

21. Первые 500 км автомобиль ехал со скоростью 100 км/ч, следующие 100 км — со скоростью 50 км/ч, а последние 165 км — со скоростью 55 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Решение. Средняя скорость — это расстояние, разделённое на время движения. Первый отрезок пути автомобиль проехал за 500/100 = 5 часов, второй — за 100/50 = 2 часа, третий — за 165/55 = 3 часа. Средняя скорость автомобиля на протяжении всего пути составила 

Ответ: 76,5.

22. Постройте график функции   Определите, при каких значениях m прямая   имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение. Раскроем модуль. При   имеем:

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Абсцисса вершины:   ордината вершины   Точка пересечения графика с осью ординат:   Точки пересечения с осью абсцисс найдем из уравнения   получим:     Дополнительная точка: 

При   имеем:

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Абсцисса вершины:   ордината вершины   Точка пересечения графика с осью ординат:   Точки пересечения с осью абсцисс найдем из уравнения   получим:     Дополнительная точка: 

График функции   изображен на рисунке.

Прямая   имеет с построенным графиком ровно три общие точки при   и 

Ответ:   и 

Приведём другой способ построения графика.

Раскроем модуль:

Выделим полный квадрат:

Следовательно, график функции   получается из графика функции   сдвигом на   а график функции   — сдвигом на 

График функции   изображен на рисунке выше.

23. Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M. Найдите длину медианы, проведённой к стороне BC, если угол BAC равен 26°, угол BMC равен 154°,  .

Решение.  Обозначим точкой   середину стороны BC. Продлим MK на свою длину за точку   до точки L. Четырёхугольник BLCM — параллелограмм, потому что   и  . Значит,   = 154°, поэтому четырёхугольник ABLC — вписанный. Тогда  .

Ответ: 9.

24. Докажите, что у равных треугольников ABC и   биссектрисы, проведённые из вершины   и  , равны.

Решение. Пусть AK и   — биссектрисы треугольников ABC и  . В треугольниках ABK и   соответственно равны стороны AB и  , а также углы B и  , BAK и  . Следовательно, треугольники равны по второму признаку равенства треугольников. Значит,  , что и требовалось доказать.

25. Три окружности с центрами   и   и радиусами 6, 1 и 7 соответственно попарно касаются внешним образом. Найдите угол 

Решение.  Из условия касания окружностей находим стороны треугольника 

По теореме косинусов

Откуда 

Ответ: 120°.