28.25.Еще пример задания

Сколько различных решений имеет уравнение

((J → K) → (M  N  L))  ((J  ¬K)→ ¬(M  N  L))  (M → J)= 1

где J, K, L, M, N – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений J, K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Решение (вариант 1, упрощение выражения):

1. перепишем уравнение, используя более простые обозначения операций:

1. попытаемся использовать замену переменных

1. тогда

2. с учетом этих обозначений преобразуем исходное уравнение к виду:

1. раскрываем импликации по правилу :

1. перемножаем первые две скобки, учитывая, что :

1. снова раскрываем скобки

1. возвращаемся к исходным переменным, вспоминая, что

1. далее используем равенства и , два слагаемых обращаются в нуль:

1. выносим общий множитель из первых двух слагаемых, в скобках остается выражение

1. такие образом, уравнение разбивается на два:

(*)

(**)

1. из уравнения следует, что и хотя бы одна из переменных не равна 1; поэтому уравнение (*) имеет 7 решений (за исключением случая )

2. уравнение (**) имеет единственное решение

3. среди решений уравнений (*) и (**) нет одинаковых (в первом случае , а во втором - ), поэтому исходное уравнение имеет 7 + 1 = 8 решений.

4. ответ – 8.