28.10.Еще пример задания

Сколько различных решений имеет система уравнений

(X₁  X₂)  (¬X₁  ¬X₂)  (¬X₃  X₄)  (X₃  ¬X₄) = 1

(X₃  X₄)  (¬X₃  ¬X₄)  (¬X₅  X₆)  (X₅  ¬X₆) = 1

(X₅  X₆)  (¬X₅  ¬X₆)  (¬X₇  X₈)  (X₇  ¬X₈) = 1

(X₇  X₈)  (¬X₇  ¬X₈)  (¬X₉  X₁₀)  (X₉  ¬X₁₀) = 1

где x₁, x₂, …, x₁₀ – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.

Решение:

1. количество комбинаций 10 логических переменных равно 2¹⁰ = 1024, поэтому вариант с построением полной таблицы истинности отпадает сразу

2. решать такую систему «в лоб» достаточно сложно, нужно попробовать ее упростить

3. заметим, что

(X₁  X₂)  (¬X₁  ¬X₂) = (X₁  X₂),

где символ  означает операцию «эквивалентность» (значения равны);

1. кроме того,

(¬X₃  X₄)  (X₃  ¬X₄) = (X₃  X₄) = ¬(X₃  X₄),

где символ  означает операцию «исключающее ИЛИ» (значения НЕ равны); это операция, обратная эквивалентности

1. используем замену переменных, выделив члены, объединяющие пары исходных переменных (X₁ и X₂, X₃ и X₄, X₅ и X₆, X₇ и X₈, X₉ и X₁₀)

Y₁ = ¬(X₁  X₂) Y₂ = ¬(X₃  X₄)

Y₃ = ¬(X₅  X₆) Y₄ = ¬(X₇  X₈)

Y₅ = ¬(X₉  X₁₀)

1. при этих обозначения система уравнений преобразуется к виду

¬Y₁  Y₂ = 1

¬Y₂  Y₃ = 1

¬Y₃  Y₄ = 1

¬Y₄  Y₅ = 1

1. как показано выше (при разборе пред-предыдущей задачи), такая система имеет 5+1 = 6 решений для независимых переменных Y₁ … Y₅

2. предположим, что значение Y₁ известно (0 или 1); поскольку , по таблице истинности операции «эквивалентность» есть две соответствующих пары (X₁;X₂) (как для случая Y₁ = 0, так и для случая Y₁ = 1)

3. у нас есть 5 переменных Y₁ … Y_5, каждая их комбинация дает 2 пары (X₁;X₂), 2 пары (X₃;X₄), 2 пары (X₅;X₆), 2 пары (X₇;X₈) и 2 пары (X₉;X₁₀), то есть всего 2⁵ = 32 комбинации исходных переменных

4. таким образом, общее количество решений равно 6 ·32 = 192

1. ответ: 192 решения

Решение (метод отображений¹, решение А.Н. Носкина):

1. упростим систему уравнений, заметим, что

(X₁  X₂)  (¬X₁  ¬X₂) = (X₁  X₂),

где символ  означает операцию «эквивалентность» (значения равны);

1. кроме того,

(¬X₃  X₄)  (X₃  ¬X₄) = (X₃  X₄) = ¬(X₃  X₄),

где символ  означает операцию «исключающее ИЛИ» (значения НЕ равны); это операция, обратная эквивалентности;

1. при этих обозначения система уравнений преобразуется к виду

(X₁  X₂) ¬(X₃  X₄) = 1

(X₃  X₄) ¬(X₅  X₆) = 1

(X₅  X₆) ¬(X₇  X₈) = 1

(X₇  X₈) ¬(X₉  X₁₀) = 1

1. построим таблицу, в которой переберем все варианты x₁, x₂, x₃, x₄, поскольку в первом логическом уравнении четыре переменных, то таблица будет иметь 16 строк (16=2⁴);

уберем из таблицы (желтая заливка) такие значения x₄, при которых первое уравнение не имеет решения.

1. анализируя таблицу, строим правило отображения пар переменных

(например, паре x₁x₂=01 соответствуют пара x₃x₄ = 01 и 10, и, наоборот, для пары x₁x₂ = 01 нет связей x₃x₄ = 00 и 11).

1. заполняем таблицу, вычисляя количество пар переменных, при котором система имеет решение:

   	x1x2	x3x4	x5x6	x7x8	x9x10
   00	1	2	4	8	16
   01	1	4	12	32	80
   10	1	4	12	32	80
   11	1	2	4	8	16

2. таким образом, ответ: 16 +80 + 80 +16 = 192 решения.

1^ Метод отображений предложен Ел.А. Мирончик и Ек.А. Мирончик (http://kpolyakov.spb.ru/download/b15mirn.zip).