Просмотр содержимого документа
«20.10.Еще пример задания»
Еще пример задания:
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 71 оканчивается на 13.
Решение (1 способ):
Если число в системе с основанием оканчивается на 13, то
, потому что в системах с меньшим основанием нет цифры 3
это число можно представить в виде , где – целое неотрицательное число
определим наибольшее возможное с учетом условия . Из уравнения следует .
очевидно, что чем меньше , тем больше , поэтому значение не превышает
здесь мы подставили – наименьшее допустимое значение
остается перебрать все допустимые значения (от 0 до ), решая для каждого из них уравнение
или равносильное
относительно , причем нас интересуют только натуральные числа
получаем
при :
при : решения – не целые числа
при : и , второе решение не подходит
таким образом, верный ответ: 4, 68.
Решение (2 способ, М.В. Кузнецова и её ученики):
запись числа71 в системе с основанием оканчивается на 13, т.е. в разряде единиц – 3, это значит, что остаток от деления 71 на равен 3, то есть для некоторого целого имеем
таким образом, искомые основания – делители числа 68; остается выбрать из них те, которые соответствуют другим условиям задачи
среди чисел, оканчивающихся на 13 в системе счисления с основанием ,минимальное – это само число ; отсюда найдем максимальное основание:
так что первый ответ: 68.
остальные числа, окачивающиеся в этой системе на 13, имеют не менее 3-х знаков ( , …), т.е. все они больше
поэтому , следовательно,
по условию в записи числа есть цифра 3, поэтому (в системах с основанием 3 цифры 3 нет)
итак: , и при этом – делитель 68; единственное возможное значение (на 5,6,7 и 8 число 68 не делится)
таким образом, верный ответ: 4, 68.
Возможные ловушки и проблемы: на шаге 1 нужно вычесть из числа только число единиц, то есть младшую из двух заданных цифр (в примере – 3) можно забыть рассмотреть двузначное число, записанное заданными в условии цифрами (в примере – 13x ), и пропустить максимальное основание нужно помнить, что максимальная цифра на 1 меньше основания системы счисления 100 в системе с основанием p равно p2 |