2 вариант задания +ответы,9 класс, ОГЭ матем.Трафик,интернет,тарифы.

Вариант №2

1. Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице трафику мобильного интернета.

Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите числа, соответствующие номерам месяцев, без пробелов, запятых и других дополнительных символов (например, для месяцев май, январь, ноябрь, август в ответе нужно записать

число 51118).

На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.

В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:

• пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;

• пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;

• пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;

• безлимитные бесплатные входящие вызовы.

Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.

Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.

Решение. Пунктирной линей на графике показан трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных за каждый месяц года.

Из рисунка видно, что 3 Гб было потрачено в шестой месяц, 3,75 Гб — потрачено в одиннадцатый, 4 Гб — в четвёртый, 1,5 Гб — в восьмой.

Ответ: 61148.

2. Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику израсходованных минут и гигабайтов.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

Решение. Пунктирной линей на графике показан трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных за каждый месяц года, а сплошной линей — количество минут исходящих вызовов.

За период март–апрель расход минут увеличился, и расход гигабайтов увеличился.

За период апрель–май расход минут уменьшился, и расход гигабайтов уменьшился.

За период июнь–июль расход минут увеличился, а расход гигабайтов уменьшился.

За период июль–август расход гигабайтов увеличился, а расход минут уменьшился.

Таким образом, получается соответствие: А — 3, Б — 4, В — 1, Г — 2.

Ответ: 3412.

3. Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в июле?

Решение. По рисунку видно, что за июль абонент потратил 1 Гб интернета, 375 минут исходящих вызовов, и в условии сказано, что за год отправил 110 СМС.

Количество потраченного интернета и СМС не превысило это количество в пакете тарифа, а исходящих вызовов сверх пакета было потрачено   минут.

Вычислим стоимость услуг связи, потраченных абонентом в июле:

 рублей.

Ответ: 575.

4. Какой наибольший трафик мобильного интернета в гигабайтах за месяц был в 2019 году?

Решение. Пунктирной линей на графике показано количество гигабайт мобильного интернета, израсходованных за каждый месяц года.

Из рисунка видно, что в четвёртом месяце было потрачено 4 Гб, что является наибольшим количеством за 2019 год.

Ответ: 4.

5. Абонент хочет приобрести новый смартфон. В трёх салонах сотовой связи этот смартфон продаётся в кредит (сначала делается первоначальный взнос, а потом ежемесячно в течение всего срока кредита вносятся платежи) на разных условиях. Условия приведены в таблице.

Определите, в каком из салонов покупка обойдётся дешевле всего (с учётом переплаты). В ответ запишите эту сумму в рублях.

Решение. Рассмотрим все варианты.

При покупке в салоне А начальный взнос составит 0,25 · 17 000 = 4250 руб., а сумма ежемесячных выплат составит 12 · 1250 = 15 000 руб. Всего 4250 + 15 000 = 19 250 руб.

При покупке в салоне Б начальный взнос составит 0,3 · 16 600 = 4980 руб., а сумма ежемесячных выплат составит 12 · 1200 = 14 400 руб. Всего 4980 + 14 400 = 19 380 руб.

При покупке в салоне В начальный взнос составит 0,2 · 17 500 = 3500 руб., а сумма ежемесячных выплат составит 6 · 2600 = 15 600 руб. Всего 3500 + 15 600 = 19 100 руб.

Самое дешёвой является покупка в салоне В.

Ответ: 19 100.

6. Найдите значение выражения 

Решение. Найдём значение выражения:

Ответ: 3,6.

7. На координатной прямой отмечены числа x, y и z.

Какая из разностей z − x, x − y, z − y положительна?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) z − x

2) x − y

3) z − y

4) ни одна из них

Решение. Заметим, что z y x. Разность положительна только в том случае, когда уменьшаемое больше вычитаемого. Это верно только для разности x − y.

Правильный ответ указан под номером: 2.

8. Найдите f(1), если f(x − 2) = 85 − x.

Решение. Получаем:

Ответ: 82.

9. Решите уравнение 

Решение. Последовательно получаем:

Ответ: −2,5.

10. В каждой десятой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайно. Варя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Варя не найдет приз в своей банке.

Решение. Так как в каждой десятой банке кофе есть приз, то вероятность выиграть приз равна   Поэтому, вероятность не выиграть приз равна 

Ответ:0,9.

11. Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) 

Б) 

В) 

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

Решение. Напомним, что если прямая задана уравнением  , то: при   тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс положителен.

Уравнение   задает прямую, которая пересекает ось ординат в точке 3. Ее график изображен на рисунке 1).

Уравнение   задает прямую, которая пересекает ось ординат в точке 0. Ее график изображен на рисунке 3).

Уравнение   задает прямую, которая пересекает ось ординат в точке -3. Ее график изображен на рисунке 2).

Тем самым, искомое соответствие: А — 1, Б — 3, В — 2.

Ответ: 132.

12. Из формулы центростремительного ускорения a = ω²R найдите R (в метрах), если ω = 4 с⁻¹ и a = 64 м/с².

Решение. Выразим из данной формулы R и подставим значения ω и a:

Ответ: 4.

Примечание.

Заметим, что в формуле ω = 4 с⁻¹ степень «-1» относится к размерности, а не к числу.

13. Укажите решение неравенства 

1)

2)

3)

4)

Решение. Последовательно получаем:

Правильный ответ указан под номером: 2.

Ответ: 2

14. Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

Решение. Пусть бригада в первый день покрасила   метров забора, во второй —   … , в последний —   метров забора. Тогда   м, а за n дней было покрашено

 метров забора.

Поскольку всего было покрашено 240 метров забора, имеем:   Таким образом, бригада красила забор в течение 8 дней.

Ответ: 8.

15.

В треугольнике ABC известно, что  ,  , угол C равен 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Решение. По теореме Пифагора найдём сторону 

Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы.

Ответ: 5.

16.  Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 53°. Ответ дайте в градусах.

Решение. Известно, что если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то угол напротив этой стороны — прямой. Таким образом, угол ACB равен 90°. Таким образом:

Ответ: 37

17.

Два катета прямоугольного треугольника равны 6 и 13. Найдите площадь этого треугольника.

Решение. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Таким образом:

Ответ: 39.

18.  На клетчатой бумаге с размером клетки 1см x 1см отмечены точки А, В и С. Найдите расстояние от точки А до прямой ВС. Ответ выразите в сантиметрах.

Решение.  Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. По рисунку определяем это расстояние, оно равно двум клеткам, или 2 см.

Ответ: 2.

19. Какие из следующих утверждений верны?

1) Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения диагоналей.

2) Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей.

3) Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.

4) Центром симметрии равнобедренной трапеции является точка пересечения ее диагоналей.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

1) «Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения диагоналей.» — верно, прямоугольник является параллелограммом, а середина диагонали параллелограмма является его центром симметрии.

2) «Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей.» — верно, ромб является параллелограммом, а середина диагонали параллелограмма является его центром симметрии.

3) «Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.» — верно, при нечетном количестве углов каждая ось симметрии проходи через вершину и середину противоположной стороны.

4) «Центром симметрии равнобедренной трапеции является точка пересечения ее диагоналей.» — неверно, у равнобедренной трапеции нет точек симметрии.

Ответ: 123.

20. Решите неравенство 

Решение. Решим неравенство методом интервалов, для этого, сначала разложим на множители выражение 

Теперь расставим точки на прямой и определим знаки выражения на каждом получившемся промежутке (см. рис.).

Таким образом, ответ 

Ответ: 

Примечание.

Обратите внимание, что при определении знаков выражения используется исходное выражение, а именно, 

21. Три бригады изготовили вместе 266 деталей. Известно, что вторая бригада изготовила деталей в 4 раза больше, чем первая и на 5 деталей меньше, чем третья. На сколько деталей больше изготовила третья бригада, чем первая.

Решение. Пусть положительное число x — количество деталей, изготовленных второй бригадой, тогда первая бригада изготовила   деталей, а третья —   деталей. Вместе три бригад изготовили 266 деталей, составим уравнение:

Вторая бригада изготовила 116 деталей, следовательно, первая бригада изготовила   деталей, а третья — 121 деталь. Таким образом, третья бригада изготовила на 121 − 29 = 92 детали больше.

Ответ: 92.

22. Постройте график функции   и определите, при каких значениях параметра c прямая   имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение.  Пусть   тогда числитель принимает вид   По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней уравнения   равна 13, а их произведение — 36. Тем самым, это числа 4 и 9. Тогда по формуле   получаем:   Возвращаясь к исходной переменной, имеем:

Сократим дробь: при   и   функция принимает вид:

её график — парабола c выколотыми точками   и 

Выделим полный квадрат:

Следовательно, искомая парабола получается сдвигом графика функции y = x² на   — см. рис.

Прямая   имеет с графиком ровно одну общую точку либо тогда, когда проходит через вершину параболы, либо тогда, когда пересекает параболу в двух точках, одна из которых — выколотая. Вершина параболы имеет координаты   ординаты выколотых точек суть   и   Поэтому  ,   или 

Ответ:  ,   или 

23. В треугольнике ABC угол С равен 90°, радиус вписанной окружности равен 2. Найдите площадь треугольника ABC, если AB = 12.

Решение.  Пусть A₁, B₁ и C₁ — точки касания вписанной окружности со сторонами BC, AC и AB соответственно. Радиус вписанной окружности обозначим r. Тогда AC₁ = AB₁, BC₁ = BA₁ и CA₁ = CB₁ = r. Периметр треугольника ABC равен

2AC₁ + 2BC₁ + 2CA₁ = 2AB + 2r,

а его полупериметр p равен AB + r.

По формуле площади треугольника находим 

Ответ: 28.

24.  В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что АMNK — ромб.

Решение. Треугольник ABC — равносторонний, точки   — середины сторон, следовательно:

Также углы A, B и   равны между собой, поскольку треугольник ABC — равносторонний.

Рассмотрим треугольники AMK, MBN и KNC, они имеют по паре равных сторон, а также равный угол между этими сторонами, следовательно, эти треугольники равны. Заметим, также, что эти треугольники равнобедренные и угол при вершине равен 60°, следовательно, углы при основаниях равны:   то есть все углы в этих треугольниках равны 60°, значит, эти треугольники равносторонние. Поэтому   то есть AMNK — ромб.

25.

На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 4 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1,5 м?

Решение.  Введём обозначения, приведённые на рисунке. Здесь AC — плечи "журавля" до опускания, BD — после, AH — высота, на которую поднялся конец короткого плеча, CK — высота, на которую опустился конец длинного. Рассмотрим треугольники AOB и COD, углы AOB и COD равны, как вертикальные, следовательно, равны и углы при основаниях:

Следовательно, треугольники AOB и COD подобны по двум углам, то есть 

Рассмотри прямые AB и CD, их пересекает секущая BD углы, обозначенные на рисунке 1 и 2 накрест лежащие и равны друг другу, следовательно, прямые AB и CD параллельны. Стороны углов 3 и 4 параллельны друг другу, следовательно, они равны.

Рассмотрим треугольники AHB и CDK, они прямоугольные, имеют равные углы, следовательно, они подобны, значит:

Ответ: 3.

Примечание

Можно привести несколько иное доказательство подобия треугольников AHB и CDK. На приведённой ниже картинке есть два маленьких треугольника обозначенные AHM и DKL, они прямоугольные и одна пара углов равна друг другу как накрест лежащие при параллельных прямых, следовательно, они подобны.

Затем, можно заметить, что у треугольников AHM и AHB соответственные углы, не важно какие, равны друг другу, потому что их стороны параллельны, следовательно, треугольники подобны. Аналогично с треугольниками CDK и   Из трёх пар подобий этих треугольников следует, что треугольники AHB и CDK подобны.