1 занятие на элективном курсе по теме: «Метод площадей»

7

1 занятие на элективном курсе по теме: «Метод площадей»

Занятие №1

Тема «Метод площадей (1 тип задач)»

Тип урока: комбинированный

Цели обучения:

• Изучить теоретический материал о методе площадей;

• Рассмотреть 1 тип задач, решаемый данным методом.

Цель развития: формирование навыков работы с текстом, развитие внимания, памяти речи.

Цель воспитания: воспитание познавательной активности, культуры общения, ответственности.

Метод обучения: объяснительно – иллюстративный метод.

1. Подготовительный этап

Цель: актуализация знаний о понятии площадь многоугольников, вспомнить изученные формулы нахождения площади.

Приёмы обучения: предъявление обучающимся вопросов и заданий.

Учитель (У): Здравствуйте, ребята! Проверьте наличие на партах карандаша, ручки, линейки, циркуля, ластика, тетради и учебника. Присаживайтесь.

Обучающиеся (О): проверяют, садятся.

(У): Ребята, давайте вспомним, что такое площадь многоугольников?

(О): Площадь многоугольников – это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник.

(У): Верно. Давайте с вами вспомним, а сколько же формул нахождения площади многоугольников мы знаем? (учащиеся в парах опрашивают друг друга, 2 человека с обратной стороны доски записывают).

(У): Молодцы!

2. Мотивационный этап.

Цель: побуждение интереса к изучению метода.

Приём мотивации: показ необходимости знаний метода для решения задач.

(У): Сейчас давайте применим наши знания при решении задач (выдается индивидуальная работа на каждого учащегося).

Таблица 2.

(У): Обсудим и проверим правильность решения данных задач (отвечают по 1).

(1 О): задача 1: .

(2 О): задача 2:

(3 О): задача 3: .

(4 О): задача 4: .

(5 О): задача 5: .

(У): Теперь давайте выполним задачу №6.

(О): Пытаются выполнить.

(У): Получилось решить?

(О): Нет.

(У): Как вы думаете, почему?

(О): Мы не знаем какого-то метода для решения 6 задачи.

3. Ориентировочный этап.

Цель: сформулировать метод.

Цель обучения: включение детей в доказательство выдвинутой гипотезы.

(У): Какова цель нашего урока?

(О): Мы должны найти какой-то метод, который поможет нам решить данную задачу.

(У): При решении задачи №6 у нас возникли трудности. Давайте попробуем вместе её разобрать. Для начала вспомним, а как мы можем найти площадь данного треугольника.

(О):

(У): Верно.

(О): Но, площадь данного треугольника мы ещё можем найти, как

(У): Конечно, площадь треугольника АВС поменяется при изменении формулы?

(О): Нет, площадь останется неизменной.

(У): Верно, мы можем уровнять данные формулы? и выразить АК?

(О): Да (выполняют).

(У): А теперь давайте попробуем неизвестный элемент заменить на х и выразить его.

(О): (выполняют).

(У): Что у вас получилось?

(О):

(У): Правильно, мы можем найти наш x?

(О): Да(выполняют).

(У): Что у вас получилось?

(О):

(У): Хорошо, правильно. При помощи чего мы смогли найти неизвестный элемент?

(О): Мы использовали 2 способа нахождения площади данной фигуры, затем выразили неизвестный элемент и нашли его значение.

(У): Про площадь что-то было дано в условии задачи?

(О): Нет.

(У): Так какой мы можем сделать вывод?

(О): Мы можем решить задачу, используя площадь, при этом в условии задачи про неё ничего не сказано.

(У): Верно, такой метод решения называется «Метод площадей».

(О): (записывают тему урока).

(У): Объяснение метода площадей:

Суть метода площадей состоит в том, что, произведя вычисление площади фигуры или ее составляющих, можно найти закономерность, описывающую характеристики исследуемого объекта, что в результате поможет получить ответ на вопрос, поставленный в геометрической задаче.

При этом метод площадей позволяет не только найти неизвестную изначально площадь фигуры, но и ответить на другие вопросы геометрической задачи, напрямую не связанные с этой геометрической характеристикой объекта исследования.

Данная задача демонстрирует задачи, при решении которых мы можем использовать метод площадей. Суть данного решения заключается в том, что мы:

1. Определяем формулы, на основании которых можно рассчитать площадь;

2. Записываем выбранные формулы с использованием искомого параметра;

3. Записываем уравнение приравнивая один расчет площади к другому;

4. На основе математических операций выделяем неизвестную величину из уравнения и производим ее расчет на основании заданных по условию задачи величин.

Далее рассмотрим перечень стандартных задач, в которых находит свое применение метод площадей.

4. Этап применения метода.

Цель: обучение применению метода площадей при решении задач.

(У): Ребята, давайте решим следующие задачи.

Задача 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найти высоту, проведенную к гипотенузе данного треугольника.

Рис. 13

Решение:

По теореме Пифагора найдем гипотенузу данного прямоугольного (рис.13) треугольника:

Площадь прямоугольного треугольника можно найти 2 различными способами: , из данного равенства выделим высоту:

Ответ: 2,4.

Задача 2. Дана трапеция ABCD, её основания ВС и AD равны 2 и 6 соответственно. Диагонали BD и АС пересекаются в точке О. Точка Р – середина OD. Найдите площадь четырехугольника АВСР.

Р

B

C

п

O

P

С

Рис. 14

D

A

Площади подобных треугольников относятся как коэффициент подобия в квадрате, следовательно, Так как 3х = 9, то х = 3 и, следовательно,

Ответ:30.

(У): Молодец. Приведем пример еще одной задачи.

Задача 3. Сторона основания равнобедренного треугольника равна 16, а боковые стороны равны 10. Найти высоту, приведенную к боковой стороне.

Рис. 15

Решение:

Проведем высоту ВК к основанию АС (рис.15), так как треугольник равнобедренный, то высота ВК является биссектрисой и медианной ( по свойству равнобедренного треугольника), следовательно АК=ЛС=8.

По теореме Пифагора найдем ВК:

Ответ: 9,6.

Домашнее задание.

(У): Дома вам нужно повторить описание метода площадей, рассмотреть еще раз пройденные задачи.

Решить задачу: Сторона основания равнобедренного треугольника равна 6, а боковые стороны равны 5. Найти высоту, приведенную к боковой стороне.

Подведение итогов урока:

(У): Какой метод мы сегодня рассмотрели на уроке?

(О): Метод площадей .

(У): Сформулируйте особенности данного метода при решении задач.

(О): 1. Определяем формулы, на основании которых можно рассчитать площадь;

1. Записываем выбранные формулы с использованием искомого параметра;

2. Записываем уравнение приравнивая один расчет площади к другому;

3. На основе математических операций выделяем неизвестную величину из уравнения и производим ее расчет на основании заданных по условию задачи величин.

(У): Молодцы! Оцените свою работу на уроке (учащиеся маршрутном листе проставляют себе оценки за каждый этап урока).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Книга одного автора:

1. Болтянский, В. Г. Элементарная геометрия. Пособие для учителей / В. Г. Болтянский. - М. : Просвещение, 1985. – 320 с.

2. Готман Э. Г. Задачи по планиметрии и методы их решения: Пособие для учащихся / Э. Г. Готман. - М. : Просвещение,1996. – 243 с.

Книга двух авторов:

1. Готман Э. Г. Задача одна - решения разные: Геометрические задачи: Книга для учащихся. / Э. Г. Готман, З. А. Скопец. - М. : Просвещение, 2000. - 224 с.

Книга трех авторов:

1. Дубровин Б. А. Современная геометрия. Методы и приложения / А. Б. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. - 2-е изд., испр. - М. : Наука, 1986. – 760 с.

Книга четырех и более авторов

1. Геометрия. 10 - 11 классы. Учебник. Базовый и углубленный уровни / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев [и др.] — 9-е изд. — М. : Просвещение, 2021. — 287 с. : ил.

Статья из периодического издания (журнала, газеты)

1. Ермаков, Д. С. Создание элективных учебных курсов для профильного обучения [Текст] / Д. С. Ермаков, Г. Д. Петрова // Школьные технологии. – 2003. - №6. – С. 22-29.

Электронные ресурсы

1. https://www.elibrary.ru/item.asp?id=37240700

Коваленко, Е. С., Кузуб Н. М. Применение метода объёмов для решения стереометрических задач при подготовке к ЕГЭ по математике: [Электронный ресурс]. (Дата обращения: 06. 11. 2019)

1. https://math-ege.sdamgia.ru/prob_catalog

Решу ЕГЭ. Математика профильного уровня. Каталог заданий по типам: [Электронный ресурс]. (Дата обращения: 04. 12. 2019)