СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Самый произвольный треугольник

Нажмите, чтобы узнать подробности

Самый произвольный треугольник

В геометрических задачах от нас часто требуют построить некий произвольный треугольник (как вариант, произвольный прямоугольный, тупоугольный, остроугольный, равнобедренный и т.д.). А так как задача чаще всего даётся без рисунка, то его приходится придумывать самостоятельно. Но как правильно построить этот произвольный треугольник?

Рассмотрим два чертежа для задачи с произвольным прямоугольным треугольником.

Не совсем произвольные прямоугольные треугольники

На первом наш треугольник похож на равнобедренный прямоугольный треугольник с одинаковыми катетами. Высота, биссектриса или медиана, проведенные из вершины прямого угла, будут на чертеже неинформативны (по свойству равнобедренного треугольника они будут совпадать). А на втором рисунке гипотенуза по длине похожа на больший катет. Любые построения внутри треугольника будут очень мелкими. Сложно назвать каждый из этих треугольников действительно произвольным в общем смысле.

Если проблема всё ещё не очевидна, представьте задачу, которая начинается так: “В треугольнике ABC проведена высота АH и медиана AM. Угол между ними равен 30°.” Если мы построим треугольник, который будет очень похож на равнобедренный с вершиной А, то по свойству равнобедренного треугольника, высота будет очень близка к медиане. Это затруднит дальнейшую работу с чертежом. Можно, конечно, пытаясь сделать угол похожим на 30°, исхитриться и нарисовать высоту, которая не будет перпендикулярна основанию или медиану, которая не делит противоположную сторону на две части. Однако, это будет существенное расхождение с условием. Чертёж должен помогать нам с решением, а не путать нас.

Так как же нарисовать произвольный и, в частности, произвольный прямоугольный треугольник?

На самом деле такой способ есть. Многие из вас интуитивно научились строить удобные для решения задач произвольные треугольники. Ниже мы покажем, как именно лучше всего их строить. Опираться мы будем на результаты одноимённой статьи в журнале Квант. Там же указаны обоснования и точные расчёты для наших построений.

Итак, перечислим идеальные произвольные треугольники. Обратите внимание, что мы должны учитывать ещё и тип треугольника. Если из условия известно, что он тупоугольный, то это накладывает некоторые ограничения на “произвольность” треугольника.

а) идеальный произвольный прямоугольный треугольник – это треугольник с острыми углами 30° и 60°;

б) идеальный произвольный равнобедренный тупоугольный треугольник – это треугольник с углами 30° и 30° и 120°;

в) идеальный произвольный равнобедренный остроугольный треугольник (угол при вершине меньше угла при основании) – это треугольник с углами 67,5° и 67,5° и 45°;

г) идеальный произвольный равнобедренный остроугольный треугольник (угол при вершине больше угла при основании) – это треугольник с углами 54° и 54° и 72°;

д) неравнобедренный остроугольный треугольник – это треугольник с углами 45° и 75° и 60°;

е) неравнобедренный тупоугольный треугольник – это треугольник с углами 22,5° и 45° и 112,5°;

На практике чаще всего используется случай д) — произвольный неравнобедренный остроугольный треугольник.

Однако, любой адекватный школьник, посмотрев на наши чертежи будет в недоумении: «Чтобы нарисовать произвольный треугольник, нужно доставать транспортир или циркуль? Это очень непрактично».

Само собой, в этом нет необходимости. Никто от нас не требует математической точности в рисовании (вдумайтесь, как это звучит!) произвольных треугольников. Нам нужно нарисовать треугольники, которые будут иметь углы, хотя бы близкие к указанным. И у нас есть мощный инструмент – клетчатая бумага.

Так вот в реальной ситуации мы будем строить эти треугольники уже по клеткам. Вариантов построения таких треугольников довольно много. Всё зависит от желаемой точности и удобства чертежа (например, его размера).

Начнём с произвольного прямоугольного треугольника. Его лучше строить с катетами равными 14 и 8 клеткам. Кстати, чётные длины катетов помогут нам отыскать середины сторон, что поможет с построением медиан, если это потребуется по условию.

Далее, равнобедренный треугольник с углами 67,5°, 67,5° и 45°. Его лучше строить с высотой 12 клеток и шириной основания 10 клеток (по 5 клеток справа и слева от середины основания).

Следующий – равнобедренный треугольник с углами 54° при основании. Высота 11 клеток, основание 16 клеток (по 8 клеток от середины основания).

Далее, равнобедренный тупоугольный треугольник с углом 30° при основании. Здесь лучше высота будет 4 клетки, основание 14 клеток (по 7 клеток от середины основания).

Остались два неравнобедренных треугольника. Они характеризуются высотой и расстоянием от основания высоты до каждой из точек основания треугольника.

В итоге для остроугольного данного типа треугольника получаем высоту 7 клеток. Расстояние от основания высоты до первой вершины составляет тоже 7 клеток, а до второй – 4 клетки (т.е. всё основание будет равно 11 клеток)

Для тупоугольного произвольного треугольника получаем высоту 5 клеток. Расстояние от основания высоты до первой вершины составляет тоже 5 клеток, а до второй – 12 клеток (т.е. всё основание будет равно 17 клеткам).

Как вы понимаете данные линейные размеры можно будет увеличить или уменьшить в нужное вам количество раз в зависимости от того, какого размера треугольник вам нужен.

Категория: Геометрия
31.01.2020 19:43


Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей

Вебинар для учителей

Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!