СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Р. Г. Хазанкин. Десять заповедей учителя математики.

Нажмите, чтобы узнать подробности

Р.Г. Хазанкин

Мне никогда не удавалось организовать специальный отбор в наш математический класс – видимо, возможно это только в крупных городах. Долгие годы я работал и с теми, кто хотел и мог заниматься математикой углубленно, и с теми, кто вовсе к этому не стремился. И теперь накопился большой опыт работы с ребя­тами, которые в младших и средних клас­сах не подозревали о том, что к восьмому или к девятому у них «вдруг» проявятся большие способности и даже талант к мате­матике. Случайно ли это? Конечно, нет. Потому и «проснулись» способности, что мы их «будили» все это время. Постепенно то, что мы искали методом проб и ошибок, «встало» на теоретическую основу, тысяче­кратно проверялось на практике, и посте­пенно оформилось в систему, о которой я хочу рассказать.

Попытаюсь сформулировать основные постулаты, направления работы, цель ко­торой можно сформулировать так: разви­ваем творческие способности школьников.

1. Теория. Стараемся, чтобы теорети­ческие знания наших ребят были как можно более глубокими. Школьники должны хо­рошо понимать глубинные взаимосвязи изу­чаемого предмета, знать и уметь пользо­ваться общими методами данной науки.

Обычно в школах решают очень много простых однотипных задач, и на теорию остается мало времени. Теоретические во­просы не включаются в контрольные ра­боты; нет устных экзаменов (например, по алгебре); есть и другие причины, по кото­рым школьники плохо знают теорию.

У нас – наоборот: на разбор теорети­ческих вопросов уходит очень много вре­мени, ни одно утверждение не оставляем недоказанным. Большинство теорем пода­ем таким образом, что способные ребята могут сами и сформулировать их, и дока­зать – либо самостоятельно, либо с неко­торой помощью учителя. На зачетах оценки ставим отдельно – за теоретические зна­ния и за решенные задачи.

Подробнейшим образом разбираем на уроках вопросы: необходимые и достаточ­ные условия, теория действительных чисел, теория пределов и т. п.: это позволяет строго доказывать теоремы из школьной программы, которые обычно принимают без доказательства. В конце концов ребята овладевают материалом этих разделов в такой мере, что свободно оперируют им, решая задачи. Заметим, что многим школь­никам так нравится работать на высоком теоретическом уровне, что в дальнейшем они требуют от учителя; ничего не при­нимать без доказательства!

То, что объем теоретического мате­риала гораздо больше обычного, не при­водит к перегрузке: мы работаем нето­ропливо, разбираемся во всех деталях, во всех нюансах. Это и позволяет в дальней­шем изучать программный материал в быстром темпе.

2. Взаимосвязи математики с другими учебными предметами.

Только тогда можно разжечь настоящий интерес к науке, когда удается пока­зать, что математика вовсе не «царица», а служанка всех наук: постоянно показы­ваем, как применяются математические ме­тоды в различных областях знания, как использовать методы одной науки, решая проблемы другой.

3. Систематически изучаем: как использовать теоретические знания, решая задачи; методы доказательства и общие методы решения задач.

Анализируя эти методы, обязательно показываем, где и как, при каких условиях они работают. Метод доказательства «от противного», например, очень часто ис­пользуется при доказательстве обратных теорем и, как правило, при этом ссыла­емся на уже доказанные прямые теоремы. (К сожалению, в учебниках специально не выделяются методы решения задач, кото­рые используются чаще всего. В резуль­тате даже учителя математики с трудом их называют).

Наши ребята не только систематизи­руют эти методы, выписывая иллюстрирую­щие их задачи в специальный блокнот, но еще и самостоятельно подбирают ориги­нальные задачи, в которых эти методы «работают» особенно ярко, наглядно. И вот результат: в арсенале школьников, по­беждавших на математических олимпиадах, таких методов – более семидесяти.

4. Идеи накапливаем, систематизируем, исследуем в различных ситуациях.

Когда одна из таких идей (прибавить и отнять одно и то же выражение или число, продифференцировать, повернуть или перевернуть фигуру и т. п.) позволяет кому-либо решить непростую проблему, то мы сразу же анализируем это на уроке. Объясняю, почему ученик воспользовался именно этой идеей (а ведь такая возмож­ность была у всех), говорю, что надо сде­лать, чтобы идея «сработала» и в следую­щий раз, по каким признакам можно дога­даться, целесообразно ли использовать именно эту идею.

5. Учим догадываться.

У наших учеников всегда есть возмож­ность самим формулировать проблемы, об­суждать пути, способы решения, выбирать лучшие из них, спорить. Школьники учатся задавать вопросы, переформулировать их, дискутировать. Прежде чем согласиться с верным ответом, спрашиваю других: «А ты как думаешь? А ты?».

Задачу прошу исследовать со всех сто­рон – обучаю этому различными способа­ми, но стратегия тут единая: сначала пере­бираем возможные идеи и фиксируем их, используя наглядные иллюстрации. Сопо­ставляем и, не вдаваясь в подробности, прогнозируем результаты наиболее пло­дотворных из них, моделируем. Затем со­ставляем план решения и работаем по нему. Аналогичным образом «обрабатываем» другие идеи и после этого, сравнив спо­собы решения, определяем самую плодот­ворную идею. Постоянно убеждаясь в том, как важно, пусть интуитивно, но предвидеть результат, школьники постепенно выраба­тывают у себя эту способность, овладевают не только приемами решения, но, если можно так выразиться, определенной стратегией мышления: для того, чтобы решить задачу, они находят несколько идей, сопоставляют их, интуитивно предполагают, прогнозируют результаты, совершают не­обходимые мыслительные операции и, на­конец, сравнивают полученные результаты. Этот путь, полагаю, весьма продуктивно развивает интеллектуальные творческие способности.

Догадываться мы тоже учим специаль­но. Каждый раз, когда ученик высказывает плодотворную мысль, спрашиваю: «А как ты догадался?» Если школьник (и никто в классе) не может объяснить, возвращаем­ся к этому на следующем уроке. Если и тогда не слышу вразумительного объясне­ния, делаю это сам, причем очень мед­ленно, обстоятельно. Это важнейший мо­мент: рассмотреть, проанализировать, «развернуть» весь процесс мышления, ко­торый привел ученика к догадке! Причем, я ведь не знаю, каким именно путем шел ученик, и разбираю обычно два-три вариан­та, объясняя попутно, какой из них продук­тивнее. Ребята при этом переосмысливают учебный материал, сопоставляют различ­ные способы решения проблемы. Несмотря на то, что с вопросом «Как ты догадался?» я обращаюсь к сильному ученику, слабый тоже предельно внимателен в этот момент: само слово «догадаться» как бы «уравни­вает в правах» более и менее способных – догадаться ведь может каждый, и каждому хочется блеснуть умом, талантом. Один раз догадался, два раза– и вот уже ситуа­ция успеха, вот уже поверил в свои силы, с удовольствием идешь на математику. А после того, как учитель, словно в мульт­фильме, «развернет» процесс зарождения идеи, да еще несколько раз «пройдется» туда и назад, внося каждый раз новые нюансы, останавливаясь на новых деталях, слабые ученики облегченно вздыхают: не боги горшки обжигают!

Развивая умственные способности и бо­лее одаренных, и слабых учеников, такая технология развивает и учителя: формулируя вопросы, он постоянно анализирует мыслительную деятельность – свою и школьников – и это вполне закономерно приводит к тому, что педагог растет как профессионал.

.На одном из внеклассных занятий рассматривалась следующая задача: «В сфере, радиус которой равен единице, летают девять мух. Верно ли, что в любой момент времени найдутся две из них, расстояние между которыми не превосхо­дит корня из трех?»

После некоторых размышлений ребя­та предложили различные решения. Вот одно из них. «Опишем возле данной сферы куб с ребром, равным двум единицам. Теперь мухи летают внутри этого куба. Проведем теперь через общий центр сфе­ры и куба три плоскости, соответственно параллельные граням этого куба. Этими плоскостями куб разбивается на 8 равных кубиков с ребром, равным единице. Мух всего девять, а кубиков восемь, следова­тельно, внутри или на границе одного из них найдутся как минимум 2 мухи. Но в кубе с ребром, равным единице, наибо­лее удаленными друг от друга будут концы диагонали куба, длина которой, как из­вестно, равна корню из трех. Следователь­но, и расстояние между этими двумя муха­ми не может превосходить этого числа – корень из трех».

Задача решена полностью.

Это красивое решение нам всем очень понравилось. Поэтому его автору задали вопрос: «А как ты догадался, как пришел к такому решению?» Проследим теперь за ответом на этот вопрос.

Ученик: «Когда-то мы решали задачу, где был дан квадрат, в котором находи­лась пятьдесят одна точка. И предлагалось выяснить: найдутся ли три из них, которые можно накрыть кругом заданного радиуса. Эта задача разбиралась на занятии, где мы изучали принцип Дирихле, суть кото­рого состоит в следующем: невозможно разместить более n «зайцев» в n «клетках» так, чтобы в каждой «клетке» не оказа­лось хотя бы двух «зайцев». Поэтому за­дачу про пятьдесят одну точку удалось решить так: разбили квадрат на двадцать пять равных квадратиков, тогда в одном из них находится хотя бы три из данных точек. Диагональ этого квадратика равна произведению длины стороны на корень из двух. Отсюда легко вычисляется радиус минимального круга, которым можно на­крыть эти три точки.

Вернемся теперь к задаче про девять мух, летающих в сфере единичного ра­диуса. Понятно, что сферу каким-то образом надо было разбить на восемь равных областей и тогда, по принципу Дирихле, хотя бы две из этих мух обязательно по­падут в одну область. Нужно было дока­зать, что расстояние между ними не пре­восходит корня из трех. Но ведь корень из трех это как раз диагональ куба с ребром единица, поэтому-то и понадобилось раз­бивать не сферу на восемь областей, а описанный возле нее куб на восемь еди­ничных кубиков».

Тем читателям, которые набрались тер­пения и прочитали задачу до конца, по­нятно теперь, что для того чтобы «угадать» такое решение, человек должен и теорию знать, и идеи «накопить» и осмыслить, и методикой решения задач хорошо владеть.

6. Продолжаем работать с решенной задачей.

Мы учим ребят ставить целый ряд проблем в связи с решенной задачей: ис­следовать необходимые и достаточные ус­ловия, обобщать, разбирать наиболее инте­ресные частные случаи, анализировать вы­рожденные ситуации, находить геометриче­ский смысл негеометрических задач, об­суждать возможности решить задачу дру­гими способами и многое другое. Мы специально учим способных учеников вести такие исследования, подготавливая их к профессиональной научной деятельности.

7. Учимся видеть красоту математи­ки процесса решения и результатов.

Умение видеть, чувствовать красоту и стройность логических закономерностей приносит людям радость, приводит порою в восторг. Найденное красивое решение надолго оставляет чувство удовлетворения, хочешь испытать его еще и еще раз. Это прекрасный стимул, и учитель не должен упускать ни одной возможности вызвать у ребят такие чувства.

8. Составляем задачи.

Научить этому удается наиболее спо­собных. Есть много различных приемов составлять задачи, однако подготовить ори­гинальную, новую хотя бы в узкой области, задачу довольно трудно. Это своеобраз­ная, я бы сказал, композиторская деятель­ность развивает всякого, кто, преодолев трудности первого этапа, втянется в нее. Многим нашим ребятам нравится приду­мывать задачи, и они предлагают их ре­шить школьникам следующего за ними класса. Иногда подопечный не может ре­шить какую-то из этих задач. В таком слу­чае старший не просто объясняет, как ре­шать, но и показывает, как задача была составлена.

9. Работаем с учебной, научно-популяр­ной и научной литературой.

Можно ли ограничиться одним, даже самым хорошим, учебником? Нет, этого, ко­нечно, недостаточно, обязательно нужно создавать свою библиотеку в кабинете ма­тематики. Нужны 15-20 экземпляров жур­нала «Квант», 30-40 экземпляров учебни­ков и задачников, справочная литература. Постоянно обращаясь к картотеке, учим работать с книгой, с отдельными главами, пользоваться справочниками. У нас уже восьмиклассники охотно берут книги из этой библиотеки, готовясь к зачетам и экза­менам, да и так постоянно приходят – когда нужно решить сложную, нестандарт­ную задачу.

10. «Математическое» общение на уроке и после уроков.

У нас это – регулярные зачеты, кото­рые старшие школьники принимают у тех, кто на один год моложе, математические бои внутри школы, а также между командами школьников из Белорецка и, например, из Уфы, Нижнего Тагила или Кирова. Традиционно проводим математические бои между школьниками и студентами-вы­пускниками, а на республиканских олим­пиадах проходят аналогичные встречи трех команд: Белорецка, Уфы и студентов Башгосуниверситета. Ежегодно организуем летние математические школы, где с ребятами работают математики-профессионалы, бывшие наши выпускники.

Таким образом, мы наметили десять направлений работы учителя, развивающе­го творческие способности школьников. По­нятно, что есть и другие направления в этой исключительно важной деятельности: развитие интеллектуального потенциала – одна из главнейших задач любого циви­лизованного общества, и это, конечно, одна из самых трудных задач.

Хазанкин Р.Г. Десять заповедей учителя математики // Народное образование. – 1991. –№ 1. – С. 70-73.

Категория: Математика
08.03.2017 19:03


Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей

Вебинар для учителей

Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!