Приемы работы с трапецией.

Приемы работы с трапецией. Отличие продвинутого уровня геометрии от школьного.

Школьный уровень геометрии принципиально отличается от продвинутого так же, как и вообще школьная математика отличается от вузоматики.

К примеру, на первом уровне изучение идёт по темам. Школьники учат определения и формулировки теорем, изучают признаки и свойства геометрических фигур. Не столько решают задачи, сколько привыкают к самой необходимости что-то доказывать. Так постепенно закладывается фундамент, добываются кирпичики знаний для постройки всего здания. Задачи на этом уровне нужны скорее для того, чтобы закрепить теоретический материал. Акцента на методы их решения нет. На этом уровне важно ПОНИМАНИЕ.

На продвинутом уровне нового материала появляется не так много. Вся главная теория пройдена ранее. Ученики теперь готовы перейти к ключевым методам решения задач и типовым конструкциям. Раньше задачи были статичны, теперь чертежи приходят в движение. Часто требуются дополнительные построения. На этом уровне геометрии важен НАВЫК. Он вырабатывается через многократное решение разноплановых задач, используя определённые приёмы.

Отличия в этих уровнях можно проследить в задачах с трапецией. На школьном уровне ученики владеют максимум парой приёмов работы с ней. Поэтому сталкиваясь с вузовской задачей они часто впадают в ступор. Даже разбирая уже готовое решение, они не понимают, как можно было догадаться до решения. Чтобы такого не происходило, давайте опишем основные приёмы, методы и конструкции для задач с трапецией:

----------------

Метод: опустить высоты из концов меньшего основания на большее.

Когда: если известна высота и к этому дополнительно известны боковая сторона/стороны, углы/угол при основаниях, меньшее основание.

Описание конструкции: высоты, проведенные из вершины меньшего основания делят трапецию на прямоугольник и два прямоугольных треугольника. Обычно с ними просто работать, т.к. элементы этих фигур связаны с элементами трапеции: стороны прямоугольника равны высоте и меньшему основанию, катеты прямоугольных треугольников также равны высоте. Особенно удобный случай получается, когда трапеция равнобедренная. В таком случае отсекаемые прямоугольные треугольники равны.

Комментарии: простота конструкции делает такое построение самым распространённым у школьников. Часто ученики знают только этот приём. Однако если у трапеции один из углов при меньшем основании острый, то полученная конструкция плохо применима, т.к. перестаёт быть наглядной.

----------------

Метод: провести через один из концов меньшего основания прямую, параллельную боковой стороне.

Когда: если известны боковые стороны, углы при основании, сумма углов при основании или разность оснований.

Описание конструкции: Трапеция делится на треугольник и параллелограмм. Чаще всего именно через треугольник можно прийти к решению задачи. Его углы совпадают с углами при большем основании, стороны равны боковым сторонам и разности оснований. Кроме того, у этого треугольника и у трапеции одна и та же высота.

Комментарий: мало задач, которые решают только этим отдельным приёмом. Чаще всего он используется как простая альтернатива другим более громоздким методам.

----------------

Метод: через вершину трапеции провести прямую, параллельную одной из диагоналей.

Когда: если известны угол между диагоналями, длины диагоналей, углы между основанием и диагоналями, сумма оснований/средняя линия.

Конструкция: получившийся чертёж кажется громоздким, однако на нём можно выделить очень интересные элементы. Во-первых, это параллелограмм (на рисунке это BCMD) с вытекающими из него соотношениями. Его стороны равны диагонали трапеции и её меньшему основанию. Во-вторых, большой треугольник (ACM). Его стороны равны диагоналям, верхний угол равен углу между диагоналями, а другие углы равны углам между основанием и диагоналями. У этого треугольника есть ещё пара интересных свойств: его нижняя сторона равна сумме оснований трапеции, площадь и средняя линия совпадают с площадью и средней линией трапеции соответственно.

Комментарий: этот метод почти не применяется в школе, поэтому редко знаком школьникам. По сравнению с остальными методами он не такой очевидный, до него трудно додуматься самому. Однако, если он применяется в задаче, это значит, что остальными приёмами задачу почти невозможно решить.

----------------

Метод: продолжить боковые стороны до пересечения.

Когда: если известны углы при основании, сумма углов при основании, отношение оснований, отношение боковых сторон.

Конструкция: появляются два подобных треугольника (большой и маленький). Решение сводится к выводам из этого подобия.

Комментарий: построение довольно естественное, однако не такое частое в задачах с трапецией. Скорее такую картинку можно получить, отсекая угол двумя параллельными прямыми.

----------------

Метод: провести диагонали трапеции.

Когда: часто по условию такие диагонали уже проведены.

Конструкция: при этом чертеже возникает очень много интересных свойств.

а) замечательное свойство трапеции: середины оснований, точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой;

б) треугольники, примыкающих к основаниям, подобны, а коэффициент их подобия равен отношению оснований;

в) треугольники, примыкающие к боковым сторонам, имеют равную площадь.

Комментарий: некоторые перечисленные свойства могут стать плацдармом для решения более конкретных числовых задач. Ученики часто эти диагонали проводят, но не зная дополнительных свойств, заходят в тупик.

----------------

Исходная конструкция: внутри трапеции проведён отрезок, параллельный основаниям.

Примечание: часто в задаче известны основания, отношение оснований или длина этого отрезка.

Что делать: использовать ранее изученные приёмы: провести диагональ, провести прямую, параллельную боковой стороне или продолжить боковые стороны до пересечения.

Получившаяся конструкция: за счёт дополнительных построений эти параллельные отрезки дают разные подобные треугольники.

---------------

Исходная конструкция: в трапецию вписана окружность.

Что делать: соединить вершины трапеции с центром; соединить центр с точками касания.

Полезные факты: сумма оснований равна сумме боковых сторон; диаметр окружности равен её высоте; центр окружности лежит на средней линии; центр окружности - точка пересечения биссектрис углов трапеции.

Конструкция: особенно интересен треугольник АОВ: он прямоугольный (угол между биссектрисами односторонних углов прямой) с высотой, поведенной к гипотенузе (отрезок, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной). Он сам по себе обладает большим количеством разных свойств, но это тема для отдельного большого разговора.

----------------

Исходная конструкция: около трапеции описана окружность.

Свойства: это означает, что трапеция равнобедренная (попробуйте это доказать!). Принципиально новых приёмов решения не возникает. Просто добавляются свойства равнобедренной трапеции и используются описанные выше методы.

Комментарии: часто такую конструкцию даже не выделяют, считая её просто частным случаем обычной трапеции. Мы же её просто упомянули, чтобы не было путаницы со случаем вписанной окружности.

----------------

Это неполный перечень методов работы с трапеций. Есть и другие способы решения подобных задач. Однако, они применяются не так часто, поэтому нет смысла рассматривать их в этой статье. Те, кто заинтересовался этой темой, могут прочитать книгу “Базовые конструкции планиметрии. Трапеция” (С.Э. Нохрин). Там же можно найти задачи для отработки указанных приёмов