Построение сечений многогранника

Построение сечений многогранника

Да, егэ позади, но это не повод отменять веселье.

Вообще, задачи на построение сечений, как и другие задачи на построение, требует тщательного анализа, описания построения, доказательства, что вы построили то, что было нужно и исследования на количество решений.

Существуют специальные методы для построения сечений, но для начала мы возьмем случай попроще: построить сечение многогранника плоскостью, проходящей через три данные точки. В данном случае, нам понадобиться только понимания того, что такое сечение. А что такое сечение, спросите вы. И это очень хороший вопрос. Сечение многогранника это многоугольник, который лежит в плоскости сечения и все его стороны лежат на гранях многогранника. Иными словами, чтобы построить сечение, необходимо найти отрезки по которым плоскость сечения пересекает грани многогранника.

Давайте осознаем, что для построения отрезка нужно иметь две точки, которые, в нашем случае, должны лежать в плоскости грани многогранника. Кажется, чем больше я пишу, тем менее понятно становится, поэтому переходим к примеру.

Перед нами правильная четырехугольная пирамида. Нужно построить сечение этой пирамиды плоскостью, проходящей через точки P, H, K.

Первое, что нужно понять, это в каких плоскостях лежат эти точки (их может быть несколько) и есть ли точки лежащие в одной плоскости. Понятное дело, что существует бесконечное количество плоскостей, которым принадлежит некая точка, но здесь речь идёт о плоскостях, содержащих грани пирамиды. Итак, точки Н и К лежат в плоскости (АМВ), а точки Н и Р в плоскости (СМВ). Значит прямые, проходящие через эти точки будут лежать в соответствующей плоскости. А так как эти точки принадлежат и плоскости сечения, то эти прямые также лежат в плоскости сечения. Проводим прямые.

Соответственно отрезки НК и НР являются частью нашего сечения.

Куда двигаться дальше? Все известные точки мы уже использовали. Именно потому что такой тупик в решении возможен, мы проводили прямые, а не просто соединили точки отрезками. Как известно, две прямые на плоскости либо пересекаются, либо нет. Рассмотрим плоскость АМВ. Мы провели в ней прямую НК, которая пересекает прямы АМ и МВ (у них есть общие точки), но в этой плоскости есть еще одна прямая - АВ. И отношение между АВ и НК туманны. Здесь нам придется опереться на рисунок и поверить, что эти прямые пересекаются. Аналогично, можем утверждать, что прямые СВ и РН тоже пересекаются.

Разберемся в каких плоскостях лежат точки G и I. Точка G лежит на прямой НР, а значит принадлежит плоскости сечения, а еще она лежит на прямой СВ и принадлежит плоскости (АВС). В свою очередь точка I, по тем же соображениям тоже лежит в плоскости сечения и (АВС). Значит прямая проходящая через эти точки будет принадлежать этим двум плоскостям.

Доверимся рисунку и поверим, что прямая GI пересекает ребра CD и AD.

Точки J и L лежат в плоскости сечения, потому что они принадлежат прямой лежащей в этой плоскости. А значит отрезки JL, KL и PJ принадлежат сечению. Таким образом, многоугольник PHKLJ искомое сечение. Хотя это еще надо доказать. Но не будем о грустном.