Решение задач по теме: "Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве" (для ДО)

Тема: Решение задач по теме:

«Перпендикулярность прямых и плоскостей»

1. Рассмотрим решение основных задач по тете Параллельность и перпендикулярность в пространстве (все предложенные задачи записать в тетрадь, они являются типовыми задачами для контрольной работы)

Задача№1

Прямая РQ параллельна плоскости α (рис. 1). Через точки Р и Q проведены прямые, перпендикулярные к плоскости α, которые пересекают эту плоскость соответственно в точках Р₁ и Q₁. Докажите, что PQ = P₁Q₁.

Рис. 1

Дано: ,

Доказать:

Доказательство:

1. Две прямые РР₁ и QQ₁ перпендикулярны к одной и той же плоскости α. Значит, эти прямые параллельны между собой. Пусть через них проходит плоскость β. В плоскости β прямые PQ и P₁Q₁ параллельны, так как по условию PQ параллельна α.

2. Рассмотрим прямоугольник РР₁Q₁Q. В прямоугольнике РР₁Q₁Q противоположные стороны равны, значит, PQ = P₁Q₁, что и требовалось доказать.

Задача№2

Через точки P и Q прямой PQ проведены прямые, перпендикулярные плоскости α и пересекающие ее соответственно в точках P₁ и Q₁.

Найдите P₁Q₁, если PQ = 15см, РР₁= 21,5 см, QQ₁= 33,5 см

Рис. 2

Дано: см

см

см

Найти:

Решение:

1. Две прямые РР₁ и QQ₁ перпендикулярны к одной и той же плоскости α. Значит, прямые РР₁ и QQ₁ параллельны. Значит, через них проходит единственная плоскость PQQ₁P₁.

2. Прямая РР₁ перпендикулярная плоскости α, а значит и прямой Р₁Q₁.

3.Так как прямые РР₁ и QQ₁ параллельны, а угол РР₁Q₁ прямой, то четырехугольник РР₁Q₁Q - прямоугольная трапеция.

Рис. 3

4. Проведем прямую РА перпендикулярно прямой QQ₁.Отрезки РА и P₁Q₁ равны.

5. Отрезок Q₁A равен отрезку РР₁. Найдем QA: QA = QQ₁ - АQ₁ = QQ₁ - РР₁ = 33,5 - 21,5 = 12 см.

6. Рассмотрим треугольник АРQ. Он прямоугольный, так как угол QАР прямой. Найдем катет РА.

см.

P₁Q₁ = РА = 9 см.

Ответ: 9 см.

Задача №3

Четырехугольник АВСD – квадрат. Точка О его центр. Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости квадрата.

а) Докажите, что МА = МВ = МС = МD

б) Найдите МА, если АВ = 4 см. ОМ = 1 см.

Напоминание:

Рассмотрим квадрат АВСD (рис. 4). Как известно, точка пересечения диагоналей О равноудалена и от вершин квадрата, и от сторон квадрата. То есть она является центром описанной окружности с радиусом R и центром вписанной окружности с радиусом r. Точка О и называется центром квадрата, т.е. это точка пересечения диагоналей. Если сторона квадрата равна а, то радиус описанной окружности равен:

Радиус вписанной окружности равен:

Рис. 4

Дано:

АВСD – квадрат

О – центр квадрата

АВ = 4 см, ОМ = 1 см.

Доказать: МА = МВ = МС = МD.

Найти: МА

Рис. 5

1. Прямая МО перпендикулярна плоскости АВС, а значит, прямая МО перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости, в том числе и диагоналям квадрата. Значит, треугольники МОА, МОВ, МОС, МОD прямоугольные.

2. Рассмотрим треугольники МОА, МОВ, МОС, МОD. По свойству квадрата ОА = ОВ = ОС = ОD. Значит, эти стороны треугольников равны друг другу. Катет МО общий. Таким образом, прямоугольные треугольники равны по двум катетам. Из равенства прямоугольных треугольников вытекает равенство его гипотенуз: МА = МВ = МС = МD, что и требовалось доказать.

3.Найдем теперь отрезок МА.Рассмотрим квадрат АВСD. АО – это радиус описанной окружности. Получаем:

Рассмотрим прямоугольный треугольник МОА. С помощью теоремы Пифагора найдем гипотенузу МА:

Ответ: 3 см.