О ценности математики и и ее якобы ненужности»

В 1904 году отмечалось 145-летие Баварской академии наук. Альфреду Прингсхайму было доверено сделать доклад на торжественном заседании, посвященном этой дате. Профессор и действительный член академии отнесся к этому поручению чрезвычайно серьезно: как вспоминала Катя Прингсхайм, ее отец даже просил руководство университета освободить его от чтения лекций в летнем семестре 1903 года, чтобы всецело посвятить себя подготовке к докладу. Несмотря на первоначальный отказ, он смог всё же добиться своего (Jüngling, и др., 2003, стр. 48). Тема выступления в академии должна была заинтересовать и коллег-математиков, и представителей других наук, использующих математику в своих исследованиях. Доклад назывался «О ценности математики и ее якобы ненужности» (Pringsheim, 1904).

Центром доклада стала полемика с Шопенгауэром, критика его взглядов на математику как бесполезную «игру в бисер», не имеющую ценности в реальном мире.

В докладе на торжественном заседании в академии Прингсхайм убедительно доказывает, что Шопенгауэр либо не понимает того, о чем берется судить, либо сознательно искажает источники, на которые ссылается, — как было, например, с известным афоризмом Георга Лихтенберга: «Математика — великолепная наука, однако математики никуда, к черту, не годятся» (Pringsheim, 1904, стр. 9). Шопенгауэр отбрасывает первую часть этой фразы, и у его читателей создается впечатление, что Лихтенберг — его единомышленник. В книге Лихтенберга, на которую ссылается философ, афоризмы отделены друг от друга звездочками, так что исказить начало афоризма можно было только сознательно, отмечает докладчик (Pringsheim, 1904, стр. 39).

Один из разделов доклада посвящен арифметике. Шопенгауэр отказывает ей в праве считаться наукой, ссылаясь на то, что уже в его время в Англии изобретены машины для арифметических вычислений, которые мы бы сейчас назвали арифмометрами. По его мнению, любой арифметический расчет можно поручить машине, так что человеческий мозг в этом не участвует. В наше время такую позицию только усилила бы ссылка на существование разнообразных калькуляторов и расчетных программ для компьютеров.

Ошибка такого подхода кроется в том, что арифметика, или теория чисел, вовсе не сводится к вычислениям, это разные сферы деятельности. «Арифметика, даже элементарная, — это наука, она изучает и обосновывает различные общие законы действий с числами», — подчеркивал Прингсхайм в докладе (Pringsheim, 1904, стр. 8). Собственно вычисления, проводимые также с помощью технических средств, — это не наука, а ее приложение. Называть такое приложение «арифметикой» и противопоставлять ее остальной математике — недобросовестный прием, которым пользовался Шопенгауэр.

Обширный доклад мюнхенского математика, занимающий сорок с лишним страниц убористого журнального текста, содержит немало подобных разоблачений. Но он не сводится только к критике взглядов Шопенгауэра и его единомышленников. Альфред Прингсхайм напоминает о разнообразных приложениях математики в других областях человеческой деятельности: не только в физике и инженерии, но и в химии, психологии, экономике, статистике, страховом деле… Область приложений математики постоянно расширяется. Подчас невозможно предугадать, где еще возникнет необходимость в математических моделях. Чтобы показать опасность негативных предсказаний, Прингсхайм приводит случай из жизни философа Огюста Конта, основоположника позитивизма. В «Курсе позитивной философии», изданном в Париже, Конт пророчествовал: «Мы научимся постепенно определять форму, удаленность, размеры и движение небесных светил; но мы никогда не будем в состоянии никакими средствами изучить их химический состав» (Pringsheim, 1904, стр. 33).

Этот неутешительный прогноз был сделан в 1835 году. А через 24 года Кирхгоф и Бунзен открыли спектральный анализ, сделавший невозможное возможным. По спектру солнечного света удалось определить не только химический состав светила, но и открыть новый элемент, получивший название гелий. При этом математика в исследованиях Кирхгофа играла ведущую роль.

Прингсхайм всегда много внимания уделял преподаванию математики в школах, гимназиях и университетах. В докладе он предложил учредить в университете специальную кафедру математической педагогики, или, говоря ученым языком, математической дидактики. Предложение намного опередило время. Такая кафедра в Мюнхенском университете была создана только в 1970-х годах, через семьдесят лет после доклада Прингсхайма в Баварской академии.

Важность приложений математики в других областях науки и техники сейчас не оспаривается никем. Прингсхайм подчеркивает другую мысль, не потерявшую актуальность и в наши дни. Практическую ценность той или иной математической работы невозможно заранее предсказать. Ориентация только на исследования, имеющие прикладное значение, может погубить фундаментальную науку. Прингсхайм доводит эту мысль до крайности: «Если всем математикам ХХ века специальным указом приказать изучать только такие вещи и заниматься только такими проблемами, про которые с уверенностью можно сказать, что они могут служить естествознанию и, возможно, технике, то математические исследования одновременно со свободой утратят бо́льшую часть своей результативности» (Pringsheim, 1904, стр. 36).

Если бы Прингсхайм держал свою речь десятью годами позже, он обязательно бы привел яркий пример математической теории, далекой, казалось бы, от реальной жизни, но нашедшей со временем применение в естествознании. Это неевклидова геометрия, сыгравшая важнейшую роль в общей теории относительности Эйнштейна. Именно в этой теории модели пространства, в которых у прямой может быть несколько параллельных, стали описывать структуру реальной Вселенной. А поначалу пространственные модели, в которых не выполняется знаменитая аксиома Эвклида о параллельных прямых, возникли чисто умозрительно, без всякой связи с физикой и астрономией.

Но и без этого примера аргументы Прингсхайма звучали убедительно. Весь опыт развития цивилизации показывает, что математические знания ценны не только тем, что служат целям других наук. Нет, математика важна сама по себе, она развивается не только по запросам внешнего мира, но следуя своей собственной логике. И эта логика неотделима от понятия красоты. Музыкант и знаток искусства, Альфред Прингсхайм называет математическую деятельность «высшей формой чистейшей эстетики понимания» (Pringsheim, 1904, стр. 36).

«В истинном математике всегда есть что-то от художника, архитектора и даже поэта, — полагает докладчик и продолжает: — Вне реального мира, однако, в заметной связи с ним математики с помощью творческой умственной работы построили некий мир идеальный, который они пытаются превратить в самый совершенный из всех миров и исследуют его во всех направлениях. О богатстве этого мира имеют представление, естественно, только посвященные: лишь надменное невежество может полагать, что математик скован узкими рамками. Всё, что его ограничивает, есть ни много ни мало только непротиворечивость» (Pringsheim, 1904, стр. 36).

Заканчивает свою речь Альфред Прингсхайм явно на торжественной ноте: «Многое, ради чего богатейшая математическая продукция создавалась и создается, является преходящим, бренным. Но из множества созданного выделяется кристально чистое ядро абстрактного знания, которое во все времена выступает как блестящий памятник силе человеческого духа. Могут ли те, кто, каждый в меру своих сил, участвуют в построении этого памятника, быть сухими и односторонними рационалистами, как полагают многие? Я думаю, что здесь уместно процитировать уже упомянутого в начале Новалиса, который сказал: „Истинный математик — это энтузиаст per se . Без энтузиазма нет математики“» (Pringsheim, 1904, стр. 37).

Эти слова, несомненно, читал или слышал Давид Гильберт, которому принадлежит ставшее широко известным высказывание об ученике, сменившем математику на филологию: «Он пошел в поэты — для математика у него не хватало фантазии» (Meschkovski, 1991, стр. 502)