Нужна ли в школе математика? (обсуждение статьи)

(доклад на Всероссийской конференции ``Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков.'' в Дубне 21 сентября 2000 года) Брошюра с этим текстом опубликована (М., МЦНМО, 2001) — Я собираюсь рассказать сегодня о довольно грустных обстоятельствах, связанных с положением математического образования во всем мире. Больше всего я знаю положение, естественно, в России, а также во Франции и в Соединенных Штатах. Но процессы, о которых я буду говорить, примерно одновременно идут во всем мире. Они несколько невероятны, но то, что я буду рассказывать, как бы это ни было невероятно, — чистая правда. Я бы назвал основной процесс, который сейчас я замечаю, который сейчас идет и который внушает главную тревогу, — я бы назвал этот процесс американизацией. Американизация состоит в том, что население земного шара, те миллиарды, которые живут на земном шаре, все хотят, чтобы у них в каждом доме был ``Макдоналдс'', ну и, соответственно, хотят, чтобы у них была такая ``культура'', как в Америке. Но что такое американская ``культура''? Я, пожалуй, расскажу пример, чтобы не быть голословным. В Гарварде я видел студентку, которая специализировалась по европейскому искусству, на уроках французского языка. Там надо было говорить по-французски, и преподавательница ее спрашивает по-французски: ``А вы-то в Европе были?'' — ``Была.'' — ``Во Францию заезжали?'' — ``Заезжала.'' — ``Париж видели?'' — ``Видела.'' — ``А видели ли вы там Нотр-Дам де Пари (т. е. собор Парижской Богоматери)?'' — ``Видела.'' — ``Вам понравилось?'' — ``Нет!'' — ``Почему же так?'' — ``Он такой старый!'' Американская точка зрения состоит в том, что все старое надо выбрасывать. Если машина старая, ее надо заменить на новую, собор Парижской Богоматери надо сломать, ну и так далее. Вот и математику надо устранить из образования. Приведу еще один пример. Я прочитал недавно текст, который принадлежит Томасу Джефферсону, третьему президенту Соединенных Штатов, автору Декларации независимости, одному из ``отцов нации''. И он по поводу математического образования уже высказывался в своих ``Письмах из Джорджии''. Он говорит следующее (и это высказывание, на мой взгляд, является определяющим для математического образования в Соединенных Штатах и сегодня): `` ни один черный никогда ни поймет ни слова в Евклиде, и ни одного учителя (или учебника), который будет ему объяснять евклидову геометрию, он никогда не поймет''. Это значит, что всю геометрию надо из школьного образования исключить, потому что демократическая эволюция должна сделать все понятным меньшинствам; ``кому нужна она, эта математика.'' Французский пример. Министр образования и науки Франции рассказывал (на заседании парижского собрания математиков во Дворце открытий) доводы, которые показывали, что обучение математике в школе надо прекратить вообще. Это довольно разумный человек, Клод Аллегрэ, геофизик, занимается плаванием материков, применяет математику, теорию динамических систем. Его довод был такой. Французского школьника, мальчика лет восьми, спросили, сколько будет 2 + 3. Он был отличник по математике, но считать не умел, потому что там так учат математике. Он не знал, что это будет пять, но он ответил, как отличник, так, чтобы ему поставили пятерку: `` 2 + 3 будет 3 + 2, потому что сложение коммутативно''. Французское обучение все устроено по этой схеме. Они учат такие вот вещи и в результате ничего не знают. И министр считает, что, чем так учить, лучше не учить вообще. Когда нужно будет что-нибудь по делу, когда понадобится, выучат сами, а обучение этой псевдонауке есть лишняя потеря времени. Вот французская точка зрения на сегодняшний день. Очень грустно, но это так. Во Франции сейчас тоже происходит американизация. В частности, я получил письмо из их Академии наук в апреле, что они пересматривают устав Академии. Один из важных пунктов, как надо изменить устав Академии наук Франции, состоял в том, что нужно, чтобы не было членкоров, всех членкоров считать академиками, и в новых выборах в членкоры не избирать никого, а только академиков. И дальше — двадцать страниц обоснования такого теологического характера, говорится, что Франция, как старшая дочь католической церкви, и так далее. Там не обязательно религиозные обоснования, там всякие, но я ничего не мог понять, мне было очень трудно, пока я не дошел до последней строчки на какой-то далекой странице, и тогда я понял, что я эту строчку уже слышал много раз за те двадцать лет, что я слышу это обсуждение. Вероятно, Франция идет впереди, но и мы тоже дойдем до этого, и этот довод, и это рассуждение — все это будет встречаться и в нашей Российской академии наук, я полагаю. Довод, который, на мой взгляд, является единственным значимым во всех этих обоснованиях и который, по-видимому, является основным для них, такой: в Национальной академии наук США в Вашингтоне членкоров нет. Следующий проект состоял в том, что современное человечество сталкивается с большим количеством проблем, а академии наук национальные, в каждой стране своя академия, которая решает свои проблемы. Это пережиток, это нехорошо. Нужно создать супербюрократическую организацию, суперакадемию, которая будет всемирной и которой отношение к обычным академиям наук будет таким, как отношение префекта полиции к обычным рядовым полицейским. Она будет решать, каковы основные проблемы человечества, например, глобальное потепление атмосферы, мальтузианская проблема перенаселения, озоновые дыры, ну и другие, перечислено несколько десятков таких основных, фундаментальных проблем: автомобилей слишком много развелось, и они свинцом загрязняют воздух и так далее, я уже не помню весь этот список. Так вот, надо принять решение, какие проблемы первоочередные, чтобы человечество сохранилось, какая страна какую проблему будет решать. И дальше в этом списке было написано, какую проблему берет на себя старшая дочь католической церкви Франция, которая предлагает, и какая проблема, и какой французский метод решения этой проблемы. Вот эта проблема прямо связана с темой нашей сегодняшней конференции. Эта проблема такова: во всем мире катастрофически падает уровень образованности. Новое поколение детей приходит, которые ничего не знают: ни таблицы умножения, ни евклидовой геометрии — ничего не знают, не понимают и не хотят знать. Они только хотят нажимать на кнопки компьютера, и больше ничего. Что делать, как тут быть? Министрами всюду, во всех странах, становятся люди, которые ничего не понимают, и ясное дело, что им нужно уничтожать всякую цивилизацию и культуру, просто для того, чтобы выжить, чтобы среди более высокого по культурному уровню окружения удержаться, этим людям надо уничтожать всякую культуру и всякое образование. Как это сделать? (Я говорю про Францию.) Итак, французский проект: как исправить положение с образованием. Французская академия наук предлагает: надо образовать женщин. Ну, это опять американская идея — это феминизм, который имеется и во Франции, имеется, наверное, и у нас. Можно предвидеть, что и у нас скоро будет принят такой же проект. Теперь, после этих грустных слов, я хочу сказать несколько слов относительно того, как мы до этой жизни дожили, как это образовалось, как получилось за много тысяч лет развития математики, как пришли к этой ситуации. Надо сказать, что я немножко интересовался в последние годы этой историей и выяснил, что все, что написано в учебниках по поводу истории науки, большинство этих вещей — это грубые ошибки, совершенно неправильные утверждения. И я сейчас расскажу немножко про историю развития математики, то, что я узнал, вещи, о которых я не знал. Историки, конечно, это знали, даже есть книги историков, в которых это все написано. Но если мы посмотрим, что пишут математики, что пишут педагоги, что написано в книжках, которые мне дали на этой конференции, в которых даже мои друзья пишут о том, какие были великие математики, какие они сделали великие открытия, когда, что, как — многое было иначе. Открывали другие люди, открытия должны бы фигурировать под другими именами. Я сейчас расскажу некоторое количество этих правд, которые, вообще, известны историкам, но неизвестны математикам, как правило. Я узнал очень недавно о великих открытиях такого крупнейшего математика, имя которого неизвестно, он был в Египте у фараона главным землемером и был после смерти объявлен богом, и его божественное имя известно, а его первоначальное имя я, во всяком случае, не знаю. Как египетский бог он назывался Тот1. У греков потом его теории стали распространяться под именем Гермес Трисмегист, и в средние века была книга ``Изумрудная скрижаль'', которая ежегодно издавалась по нескольку раз, и было много изданий этой книги, например, в библиотеке Ньютона, который тщательно его изучал. И очень многие вещи, которые приписываются Ньютону, на самом деле уже там содержались. Что открыл Тот? Я перечислю некоторое небольшое количество открытий. По-моему, каждый культурный человек должен был бы знать, что был такой Тот, и что он открыл, и какие его великие изобретения. То, что я до этого года не знал об этом — это позор. Первая вещь, которую он придумал — это числа, натуральный ряд. До него числа, конечно были: 2, 3,. до числа, которым выражалась сумма всего налога, который платили египетскому фараону — число, которое выражает весь годовой налог, существовало, а больших чисел не было. Идея, что числа можно продолжать неограниченно, что нет самого большого числа, что всегда можно прибавить единицу, что можно построить систему счисления, в которой записываются как угодно большие числа — вот это идея Тота, это первая его идея. Сегодня мы называем ее идеей актуальной бесконечности. Второе открытие, которое тоже очень значительно, — это алфавит. До него были иероглифы, в которых изображались знаками слова, например ``собака''. А ему пришла в голову идея, что фонемы, звуки надлежит записывать, установив вместо тысяч иероглифов, которые были для слов, всего лишь несколько десятков иероглифов, например, упрощенной ``собакой'' изображать звук ``с'' всегда, ``с'' в любом слове — это будет похоже на эту самую ``собаку'', такую упрощенную ``собаку''. Он придумал египетский алфавит. Все наши европейские алфавиты пошли от него. У нас имеется такая легенда, которую можно найти во всех учебниках, что будто бы Шампольон открыл ``розеттский камень'', будто бы Шампольон, взявший этот ``розеттский камень'', трилингву, которая там была, нашел соответствие, прочитал иероглифы и так далее. Так вот, это все неправда. На самом деле я ухожу немножко в сторону от математики, это история другой науки, это все равно неправда. На самом деле с Шампольоном была история такая: Шампольон действительно разгадал этот алфавит, он действительно прочитал, но без всякого ``розеттского камня''. Этот ``розеттский камень'' нашли после того, как Шампольон уже опубликовал свою теорию. Когда — лет через двадцать — был найден ``розеттский камень'', он взял этот камень и показал на этом камне, что дает его теория, и сравнил с тем греческим переводом, который был на камне, и все сошлось. Тем самым, это было доказательство, но теория была к этому времени давно опубликована. Шампольон открыл египетский алфавит совершенно другим способом. Основное, между прочим, открытие, которым воспользовался Шампольон, что было взято им у Плутарха, и основное, что ему позволило читать иероглифы, иероглифические тексты, алфавит вот этот, было очень странное открытие, которого никто до него почему-то не понимал. Оказывается, иероглифические тексты писались не слева направо, как у нас, а справа налево. Плутарх это знал, как это было написано, Шампольон это понял, и он стал читать в другую сторону, и тогда получилось. Тогда он придумал расшифровку. Но вдаваться в детали теории расшифровки я не буду.2 Третье открытие Тота — это геометрия. Геометрия в буквальном смысле — это землемерие. Тоту поручалось фараоном, он должен был знать, участок земли, огороженный, вот такой-то величины, какой урожай принесет. Это зависит от площади, ему надо было измерять эти площади, проводить межи, воду разделять из Нила, делать отвод воды и все эти практические работы. И он научился. Для этого он придумал геометрию, все то, что мы сейчас учим, евклидову геометрию, вся эта геометрия — Тота на самом деле. В частности, Тот и впоследствии его ученики измерили при помощи своих геометрических методов радиус Земли. Радиус Земли, который они измерили, был ими получен с ошибкой в один процент относительно современных данных, это колоссальная точность. Вдоль Нила шли караваны верблюдов, от Фив до Мемфиса, они шли почти по меридиану и считали верблюжьи шаги, тем самым, знали расстояние. В то же время можно, наблюдая полярную звезду, померить широты городов и, зная разницу широт и расстояние по меридиану, можно померить радиус Земли, и они это очень хорошо сделали и нашли радиус с точностью 1%. Ну и, наконец, последнее его открытие, про которое я упомяну, относительно мелкое, но все-таки интересное, что он придумал, были шашки. Шахматы были у индусов, шахматы были известны, но это сложная и не народная игра, он демократизировал шахматы и придумал шашки. Шашки идут тоже от него. В учебнике истории имеются еще десятки его открытий, изобретений всяких, я для краткости, конечно, сейчас перечислять их не буду. Откуда стало все это известно нам? Вот мы знаем евклидову геометрию. Откуда идет евклидова геометрия, откуда все это произошло? Оказывается, изучение науки, которая была создана Тотом, составляло коммерческую тайну Египта. В Александрии была библиотека (мьюзиум), в которой хранилось семь миллионов томов, в которых вся наука была записана, но нужно было иметь специальный допуск, для того чтобы ознакомиться с этим материалом, и нужно было иметь от жрецов пирамид разрешение на то, чтобы все это изучать. Имеется по крайней мере четыре великих греческих ученых (промышленных шпионов), которые украли у египтян эту науку, которая не была придумана вся египтянами, они заимствовали много — у халдеев, у вавилонян, у индусов — но, во всяком случае, это было засекречено. Первым из них, по-видимому, был Пифагор3. Некоторые говорят, что он четырнадцать лет прожил среди этих жрецов, некоторые — что двадцать. Он получил допуск, ознакомился, выучил всю эту науку, всю евклидову геометрию, алгебру, арифметику и заявил, что он никогда не рассекретит эти секретные сведения. И действительно, от Пифагора не сохранилось ни одной строчки, он никогда ничего не записывал. Учение Пифагора, когда он вернулся в Грецию, распространялось устным образом его учениками. Никаких книг Пифагора не было. Тексты Евклида через несколько поколений — это произвели разные ученики Пифагора, которые все записали уже впоследствии. Пифагор ничего не писал сам, потому что он поклялся, что не будет. Но он распространил эти знания в Греции — аксиомы, кроме, быть может, пятого постулата, который, по-видимому, принадлежит самому Евклиду4. В частности, теорема Пифагора была заведомо опубликована за две тысячи лет до него в Вавилоне, клинописью, а кроме теоремы, известны были и пифагоровы тройки (мне недавно вручили книжку, в которой Тихомиров, кажется, утверждает, что эти тройки нашел кто-то еще другой). Но все это было давно-давно известно, за тысячу лет до Пифагора, и египетские жрецы все это знали и употребляли при строительстве пирамид треугольники (3, 4, 5), (12, 13, 5) и другие, и формулу общую знали, как построить все эти треугольники. Все это было хорошо известно, но — приписывается Пифагору (вместе с теорией переселения душ). Я однажды получил письмо от английского физика Майкла Берри (знаменитые ``фазы Берри''), который написал мне письмо — следствие нашего обсуждения приоритетных вопросов. И он написал, что эти обсуждения можно суммировать при помощи следующего принципа Арнольда: если какой-нибудь предмет имеет персональное наименование (например, Пифагоровы тройки или теорема Пифагора; Америка, например), то это никогда не бывает имя первооткрывателя. Это всегда имя какого-то другого человека. Америка не называется Колумбией, хотя открыл ее Колумб. Кстати, почему Колумб открыл Америку? Это тесно связано с тем, что я только что рассказывал. Когда Колумб отправился к испанской королеве Изабелле проситься в экспедицию (он не собирался открывать Америку, он собирался открывать путь через Атлантический океан в Индию), то королева ему сказала: нет, нельзя. А дело было вот в чем. Через двести лет после египтян вопрос о размере Земли рассмотрели греки. Греки, пользуясь украденными Пифагором сведениями, знали про египетские измерения, но не верили египтянам (что это за измерения, какие-то верблюды, что это такое.). И они провели измерения заново. Они взяли триеру, корабль, который пересек Средиземное море с юга на север, от Александрии до острова Родос, померили путь, зная скорость корабля при сильном ветре, разность широт тоже можно померить, и получили новый размер (радиус) Земли. Но так как, конечно, египетский способ был надежным, потому что верблюды — это хороший счет расстояний, а скорость корабля при сильном ветре — это что-то такое неопределенное, греческая оценка была вдвое отличающейся от египетской. И греки это опубликовали и говорили, что египтяне уже мерили, но поскольку они слаборазвитый народ5, то хорошо померить не смогли и получили Землю, которая вдвое меньше, чем настоящая; на самом деле у них ошибочные данные, а правильный размер Земли вдвое больше. И поскольку вся греческая наука — Евклид, Пифагор, все это — распространилась потом повсеместно, в школе учили, то и королева Изабелла тоже думала, что Земля вдвое больше, чем она есть, и она сказала Колумбу: ``Ты не доплывешь до Индии, потому что ни в какой корабль не уместится столько бочек с водой, сколько нужно взять, чтобы проплыть такое большое расстояние''. Потому что очень далеко, а ничего по дороге нет (Америка не предполагалась). Колумб шесть раз к ней ходил и в конце концов каким-то образом избежал этих запретов и все-таки добрался. Так вот, Берри пишет дальше: ``Но чтобы принципом Арнольда надежно пользоваться, нужно к нему добавить еще один очень важный принцип — принцип Берри. Принцип Берри таков: принцип Арнольда применим к самому себе''. Конечно, несомненно, научные открытия воруют, воровали всегда и воруют. (Из зала: И будут воровать!) Может быть, и будут воровать, а может быть, и нет, потому что наукой уже не будут интересоваться, потому что уже платить будет некому за это уворованное. Может быть, уже и перестанут воровать науку просто потому, что заказчиков не будет больше, вот в чем дело. Я перечислю еще несколько открытий, которые очень яркие и которые приписываются не первооткрывателям, а совершенно другим людям. Платон украл в Египте логику — искусство рассуждать, то, что дальше уже перешло в Европу через Аристотеля, Аристотелеву логику, софизмы, сориты (длинные цепочки силлогизмов) — вся эта наука была у египетских жрецов, была им хорошо известна. Ее украл Платон, который тоже был шпионом. Еще был такой знаменитый человек Орфей, который украл музыку: гармонию, гаммы, октавы, квинты, терции. Пифагор тоже занимался музыкой и знал, какой длины должны быть струны, чтобы соответствующее отношение частот получать, и какое натяжение струн надо было делать — это все было у египтян совершенно стандартным, просто для ритуальной музыки, у них это было совершенно точно известно, а греки все это заимствовали. Вся наша музыка заимствована через греков у египтян. И, наконец, последнее открытие, которое я хочу упомянуть — это странный случай. Это имя, может быть, менее известно, хотя автор — человек, очень заслуживающий глубокой нашей благодарности, — Эвдокс. Теория Эвдокса теперь называется теорией чисел. Эвдокс открыл следующее. Уже пифагорейцы знали (хотя кто первый открыл, не очень ясно, может быть, и Пифагор, может, и ученики Пифагора), что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной и поэтому бывают иррациональные числа. Это открытие было немедленно засекречено уже самими греками, потому что для чего служили числа? Числа были только рациональные, и они служили для измерения. Но это открытие показывает, что чисел, т. е. рациональных дробей, недостаточно для измерения, потому что уже диагональ квадрата нельзя измерить. Следовательно, арифметика — наука, не пригодная для практической жизни, для физики, для всех приложений. Следовательно, если потребители — фараоны, люди вообще — узнают о такого рода вещах, то они всех математиков прогонят, потому что они занимаются пропорциями, дробями — какой-то ерундой, которая никому не нужна. Так вот, Эвдокс преодолел эту трудность. Из-за этой трудности была запрещена теория рациональных чисел, а он ее создал. Он создал то, что теперь называется теорией сечений Дедекинда или кольцом Гротендика, это то же самое. Эта теория на самом деле полностью была создана Эвдоксом и изложена Евклидом в теории пропорций, в пятой, по-моему, книге Евклида. Так вошли в математику иррациональные числа. Теперь я позволю себе немножко уклониться от математики и рассказать об открытиях, близких к математике (даже, собственно говоря, я бы включал это в математику, но некоторые мои современники не включают, я расскажу и об этом тоже). Это астрономические теории. Астрономия, небесная механика играла огромную роль в развитии математики, анализа — Ньютон, Кеплер хорошо известны. Законы Кеплера, то, что сила притяжения обратно пропорциональна квадрату расстояния — всему этому мы учим наших учеников, объясняем, какие великие открытия сделал Ньютон и так далее. Так вот, сам Ньютон имел совершенно другую точку зрения по истории этих вопросов. В его неопубликованных работах, алхимических и теологических, размер которых в десять раз больше, чем опубликованных математических и физических работ, он признает приоритет египтян, которые все это знали за пару тысяч лет до него6. На самом деле в Египте было хорошо известно — не очень ясно, кто первый это открыл, но, во всяком случае, египетским жрецам были уже известны, во-первых, закон обратных квадратов, во-вторых, законы Кеплера и, в-третьих, что из закона обратных квадратов следуют законы Кеплера. У Ньютона написано, что, к сожалению, вывод одного из другого был записан в тех книгах, тех миллионах томов, которые сожгли в пожаре в библиотеке в Александрии, и поэтому в течение нескольких столетий это замечательное древнее рассуждение было потеряно, и он гордится тем, что ему принадлежит заслуга восстановить это доказательство. Теперь доказательство вновь объясняет, почему законы Кеплера вытекают из закона обратных квадратов. Но на самом деле все это было хорошо известно. В VII веке до новой эры римский царь Нума Помпилий, царствовавший вскоре после Ромула, построил в Риме храм Весты, в котором был планетарий, который был построен по коперниковской гелиоцентрической системе. Коперник, между прочим, тоже цитирует этих древних и говорит, что гелиоцентрическая система не была его открытием, а была давно известна, но просто он обратил внимание людей нового времени на то, что было известно в старое время. В храме Весты, в центре, находился огонь, который изображал Солнце. Вокруг него жрецы носили с нужной скоростью по нужной эллиптической орбите изображение Меркурия, потом изображение Венеры, потом изображение Земли, потом изображение Марса, ну и, естественно, Юпитера и Сатурна. В любой день можно было встать на то место, где в это время жрецы держали Землю, и посмотреть, допустим, направление на то место, где жрецы держат Марс, а потом выйти на улицу и посмотреть вечером, и тогда в том направлении Марс увидеть.