СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

10 заповедей преподавателя математики

Нажмите, чтобы узнать подробности

Десять заповедей учителя математики

1. Теория. Стараемся, чтобы теоретические знания наших обучающихся были как можно более глубокими. Студенты должны хорошо понимать глубинные взаимосвязи изучаемого предмета, знать и уметь пользоваться общими методами данной науки.

Обычно в учреждениях решают очень много простых однотипных задач, и на теорию остается мало времени. Теоретические вопросы не включаются в контрольные работы; нет устных экзаменов (например, по алгебре); есть и другие причины, по которым обучающиеся плохо знают теорию.

У нас – наоборот: на разбор теоретических вопросов уходит очень много времени, ни одно утверждение не оставляем недоказанным. Большинство теорем подаем таким образом, что способные ребята могут сами и сформулировать их, и доказать – либо самостоятельно, либо с некоторой помощью учителя. На зачетах оценки ставим отдельно – за теоретические знания и за решенные задачи.

Подробнейшим образом разбираем на уроках вопросы: необходимые и достаточные условия, теория действительных чисел, теория пределов и т. п.: это позволяет строго доказывать теоремы из школьной программы, которые обычно принимают без доказательства. В конце концов ребята овладевают материалом этих разделов в такой мере, что свободно оперируют им, решая задачи. Заметим, что многим школьникам так нравится работать на высоком теоретическом уровне, что в дальнейшем они требуют от учителя; ничего не принимать без доказательства!

То, что объем теоретического материала гораздо больше обычного, не приводит к перегрузке: мы работаем неторопливо, разбираемся во всех деталях, во всех нюансах. Это и позволяет в дальнейшем изучать программный материал в быстром темпе.

2. Взаимосвязи математики с другими учебными предметами.

Только тогда можно разжечь настоящий интерес к науке, когда удается показать, что математика вовсе не «царица», а служанка всех наук: постоянно показываем, как применяются математические методы в различных областях знания, как использовать методы одной науки, решая проблемы другой.

3. Систематически изучаем: как использовать теоретические знания, решая задачи; методы доказательства и общие методы решения задач.

Анализируя эти методы, обязательно показываем, где и как, при каких условиях они работают. Метод доказательства «от противного», например, очень часто используется при доказательстве обратных теорем и, как правило, при этом ссылаемся на уже доказанные прямые теоремы. (К сожалению, в учебниках специально не выделяются методы решения задач, которые используются чаще всего. В результате даже учителя математики с трудом их называют).

Наши ребята не только систематизируют эти методы, выписывая иллюстрирующие их задачи в специальный блокнот, но еще и самостоятельно подбирают оригинальные задачи, в которых эти методы «работают» особенно ярко, наглядно. И вот результат: в арсенале школьников, побеждавших на математических олимпиадах, таких методов – более семидесяти.

4. Идеи накапливаем, систематизируем, исследуем в различных ситуациях.

Когда одна из таких идей (прибавить и отнять одно и то же выражение или число, продифференцировать, повернуть или перевернуть фигуру и т. п.) позволяет кому-либо решить непростую проблему, то мы сразу же анализируем это на уроке. Объясняю, почему ученик воспользовался именно этой идеей (а ведь такая возможность была у всех), говорю, что надо сделать, чтобы идея «сработала» и в следующий раз, по каким признакам можно догадаться, целесообразно ли использовать именно эту идею.

5. Учим догадываться.

У наших учеников всегда есть возможность самим формулировать проблемы, обсуждать пути, способы решения, выбирать лучшие из них, спорить. Школьники учатся задавать вопросы, переформулировать их, дискутировать. Прежде чем согласиться с верным ответом, спрашиваю других: «А ты как думаешь? А ты?».

Задачу прошу исследовать со всех сторон – обучаю этому различными способами, но стратегия тут единая: сначала перебираем возможные идеи и фиксируем их, используя наглядные иллюстрации. Сопоставляем и, не вдаваясь в подробности, прогнозируем результаты наиболее плодотворных из них, моделируем. Затем составляем план решения и работаем по нему. Аналогичным образом «обрабатываем» другие идеи и после этого, сравнив способы решения, определяем самую плодотворную идею. Постоянно убеждаясь в том, как важно, пусть интуитивно, но предвидеть результат, школьники постепенно вырабатывают у себя эту способность, овладевают не только приемами решения, но, если можно так выразиться, определенной стратегией мышления: для того, чтобы решить задачу, они находят несколько идей, сопоставляют их, интуитивно предполагают, прогнозируют результаты, совершают необходимые мыслительные операции и, наконец, сравнивают полученные результаты. Этот путь, полагаю, весьма продуктивно развивает интеллектуальные творческие способности.

Догадываться мы тоже учим специально. Каждый раз, когда ученик высказывает плодотворную мысль, спрашиваю: «А как ты догадался?» Если школьник (и никто в классе) не может объяснить, возвращаемся к этому на следующем уроке. Если и тогда не слышу вразумительного объяснения, делаю это сам, причем очень медленно, обстоятельно. Это важнейший момент: рассмотреть, проанализировать, «развернуть» весь процесс мышления, который привел ученика к догадке! Причем, я ведь не знаю, каким именно путем шел ученик, и разбираю обычно два-три варианта, объясняя попутно, какой из них продуктивнее. Ребята при этом переосмысливают учебный материал, сопоставляют различные способы решения проблемы. Несмотря на то, что с вопросом «Как ты догадался?» я обращаюсь к сильному ученику, слабый тоже предельно внимателен в этот момент: само слово «догадаться» как бы «уравнивает в правах» более и менее способных – догадаться ведь может каждый, и каждому хочется блеснуть умом, талантом. Один раз догадался, два раза– и вот уже ситуация успеха, вот уже поверил в свои силы, с удовольствием идешь на математику. А после того, как учитель, словно в мультфильме, «развернет» процесс зарождения идеи, да еще несколько раз «пройдется» туда и назад, внося каждый раз новые нюансы, останавливаясь на новых деталях, слабые ученики облегченно вздыхают: не боги горшки обжигают!

Развивая умственные способности и более одаренных, и слабых учеников, такая технология развивает и учителя: формулируя вопросы, он постоянно анализирует мыслительную деятельность – свою и школьников – и это вполне закономерно приводит к тому, что педагог растет как профессионал.

.На одном из внеклассных занятий рассматривалась следующая задача: «В сфере, радиус которой равен единице, летают девять мух. Верно ли, что в любой момент времени найдутся две из них, расстояние между которыми не превосходит корня из трех?»

После некоторых размышлений ребята предложили различные решения. Вот одно из них. «Опишем возле данной сферы куб с ребром, равным двум единицам. Теперь мухи летают внутри этого куба. Проведем теперь через общий центр сферы и куба три плоскости, соответственно параллельные граням этого куба. Этими плоскостями куб разбивается на 8 равных кубиков с ребром, равным единице. Мух всего девять, а кубиков восемь, следовательно, внутри или на границе одного из них найдутся как минимум 2 мухи. Но в кубе с ребром, равным единице, наиболее удаленными друг от друга будут концы диагонали куба, длина которой, как известно, равна корню из трех. Следовательно, и расстояние между этими двумя мухами не может превосходить этого числа – корень из трех».

Задача решена полностью.

Это красивое решение нам всем очень понравилось. Поэтому его автору задали вопрос: «А как ты догадался, как пришел к такому решению?» Проследим теперь за ответом на этот вопрос.

Ученик: «Когда-то мы решали задачу, где был дан квадрат, в котором находилась пятьдесят одна точка. И предлагалось выяснить: найдутся ли три из них, которые можно накрыть кругом заданного радиуса. Эта задача разбиралась на занятии, где мы изучали принцип Дирихле, суть которого состоит в следующем: невозможно разместить более n «зайцев» в n «клетках» так, чтобы в каждой «клетке» не оказалось хотя бы двух «зайцев». Поэтому задачу про пятьдесят одну точку удалось решить так: разбили квадрат на двадцать пять равных квадратиков, тогда в одном из них находится хотя бы три из данных точек. Диагональ этого квадратика равна произведению длины стороны на корень из двух. Отсюда легко вычисляется радиус минимального круга, которым можно накрыть эти три точки.

Вернемся теперь к задаче про девять мух, летающих в сфере единичного радиуса. Понятно, что сферу каким-то образом надо было разбить на восемь равных областей и тогда, по принципу Дирихле, хотя бы две из этих мух обязательно попадут в одну область. Нужно было доказать, что расстояние между ними не превосходит корня из трех. Но ведь корень из трех это как раз диагональ куба с ребром единица, поэтому-то и понадобилось разбивать не сферу на восемь областей, а описанный возле нее куб на восемь единичных кубиков».

Тем читателям, которые набрались терпения и прочитали задачу до конца, понятно теперь, что для того чтобы «угадать» такое решение, человек должен и теорию знать, и идеи «накопить» и осмыслить, и методикой решения задач хорошо владеть.

6. Продолжаем работать с решенной задачей.

Мы учим ребят ставить целый ряд проблем в связи с решенной задачей: исследовать необходимые и достаточные условия, обобщать, разбирать наиболее интересные частные случаи, анализировать вырожденные ситуации, находить геометрический смысл негеометрических задач, обсуждать возможности решить задачу другими способами и многое другое. Мы специально учим способных учеников вести такие исследования, подготавливая их к профессиональной научной деятельности.

7. Учимся видеть красоту математики – процесса решения и результатов.

Умение видеть, чувствовать красоту и стройность логических закономерностей приносит людям радость, приводит порою в восторг. Найденное красивое решение надолго оставляет чувство удовлетворения, хочешь испытать его еще и еще раз. Это прекрасный стимул, и учитель не должен упускать ни одной возможности вызвать у ребят такие чувства.

8. Составляем задачи.

Научить этому удается наиболее способных. Есть много различных приемов составлять задачи, однако подготовить оригинальную, новую хотя бы в узкой области, задачу довольно трудно. Это своеобразная, я бы сказал, композиторская деятельность развивает всякого, кто, преодолев трудности первого этапа, втянется в нее. Многим нашим ребятам нравится придумывать задачи, и они предлагают их решить школьникам следующего за ними класса. Иногда подопечный не может решить какую-то из этих задач. В таком случае старший не просто объясняет, как решать, но и показывает, как задача была составлена.

9. Работаем с учебной, научно-популярной и научной литературой.

Можно ли ограничиться одним, даже самым хорошим, учебником? Нет, этого, конечно, недостаточно, обязательно нужно создавать свою библиотеку в кабинете математики. Нужны 15-20 экземпляров журнала «Квант», 30-40 экземпляров учебников и задачников, справочная литература. Постоянно обращаясь к картотеке, учим работать с книгой, с отдельными главами, пользоваться справочниками. У нас уже восьмиклассники охотно берут книги из этой библиотеки, готовясь к зачетам и экзаменам, да и так постоянно приходят – когда нужно решить сложную, нестандартную задачу.

10. «Математическое» общение – на уроке и после уроков.

У нас это – регулярные зачеты, которые старшие школьники принимают у тех, кто на один год моложе, математические бои внутри школы, а также между командами школьников из Белорецка и, например, из Уфы, Нижнего Тагила или Кирова. Традиционно проводим математические бои между школьниками и студентами-выпускниками, а на республиканских олимпиадах проходят аналогичные встречи трех команд: Белорецка, Уфы и студентов Башгосуниверситета. Ежегодно организуем летние математические школы, где с ребятами работают математики-профессионалы, бывшие наши выпускники.

Таким образом, мы наметили десять направлений работы учителя, развивающего творческие способности школьников. Понятно, что есть и другие направления в этой исключительно важной деятельности: развитие интеллектуального потенциала – одна из главнейших задач любого цивилизованного общества, и это, конечно, одна из самых трудных задач.

Категория: Математика
14.12.2019 22:05


Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей

Вебинар для учителей

Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!