Значение логического выражения (ОГЭ, задание 3). Методика преподавания темы на уроках в 8–9-х классах и для подготовки к ОГЭ

Значение логического выражения (ОГЭ, задание 3)

Методика преподавания темы на уроках в 8–9-х классах и для подготовки к ОГЭ

Для максимально быстрого и однозначно верного решения задач будем придерживаться принципа: чем меньше вычислений и другой работы мы делаем, тем меньше времени потрачено на решение и тем меньше вероятность появления ошибок в результате.

Для более наглядного отображения логических отношений между множествами точек  А и В  будем использовать геометрическую схему в виде кругов Эйлера (рис.1).

Точка принадлежит множеству А, если она находится внутри круга, его ограничивающего, что записывается в виде А=1 (истина), иначе А=0 (ложь).

Правил при получении результатов выполнения логических операций много, а исключения всего два, поэтому и будем решать задачи именно через исключения.

Результатом применения логических операций могут быть только истина (1) или ложь (0).

Существуют всего три базовые логические операции, при помощи которых строятся логические выражения:

НЕ, И и ИЛИ:

• НЕ: инверсия (отрицание). Обозначается знаком ¬, например, ¬А). Результат применения: ¬1 = 0, ¬0 = 1, т.е. истина превращается в ложь, а ложь – в истину.  Будем говорить, что операция НЕ (¬) переворачивает

результат (значение);

• И: конъюнкция (логическое умножение). Обозначается знаками ˄ либо & (например, А ˄ В либо А & В). Результатом выполнения конъюнкции служит пересечение множеств А и В (на рис.2 выделено жёлтым цветом).

При этом точка принадлежит пересечению множеств А и В, если она принадлежит одновременно обоим множествам:

А & B = 1 при А=1 и В=1.

Во всех остальных случаях в результате применения выражения И получаем ложь.

Таким образом, исключение № 1:

«И» правда, когда все части выражения правда;

• ИЛИ: дизъюнкция (логическое сложение). Обозначается ˅ (например, А ˅ В). Результатом выполнения дизъюнкции служит объединение множеств А и В (на рис.3 выделено зеленым  цветом).

При этом точка не принадлежит объединению множеств А и В, если она не принадлежит ни А, ни В:

А ˅ B = 0 при А=0 и В=0.

Во всех остальных случаях в результате применения выражения ИЛИ получаем  правду.

Таким образом, исключение № 2:

«ИЛИ» ложно, когда все части выражения ложны.

При вычислении логических выражений следует помнить, что логические операции выполняются в следующем порядке: НЕ, И, ИЛИ.  Как и в математике, скобки могут поменять последовательность их выполнения.

При этом любая операция, которая выполняется последней, может поменять результат, а операция НЕ, стоящая перед скобками, переворачивает результат, полученный в скобках.

Применяя все выше сказанное, будем вычислять значение логического выражения от последней операции к первой, используя только два исключения и не открывая скобки.

Желающим решать задачи, открывая скобки в выражениях, необходимо знать законы алгебры логики!

Законы рефлексивности:   

               a ∧ a = a, то есть 0*0 =0 или 1*1 = 1

               a ∨ a = a, то есть 0+0=0 или 1+1 = 1

Законы коммутативности:

               a ∧ b = b ∧ a, то есть  a*b = b*a

               a ∨ b = b ∨ a, то есть  b+b = b+a

Законы ассоциативности:  

               (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c), то есть (a*b) * c = 1 при a=b=c=1 или равно 0 в противном случае

               (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c), то есть (a + b) + c = 0 при a=b=c=0 или равно 1 в противном случае

Законы дистрибутивности:  

               a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c), то есть  a*(b + c) = (a*b) + (a*c), то есть 0*(b V c) = 0 или 1*(b V c) = b V c

               a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) , то есть a+(b*c) = (a+b) * (a+c), то есть (1+b)*(1+c) = 1 или 0+(b*c) = b*c

Закон отрицания отрицания:   

                ¬ (¬ a) = a, то есть -(-a) = a

Законы поглощения:

                a ∧ (a ∨ b) = a, то есть a*(a + b) равно 0 при а=0 или 1 – в обратном случае.

                a ∨ (a ∧ b) = a, то есть a+(a*b) равно 1 при а=1 или 0 – в обратном случае.

Законы де Моргана:

                ¬ (a ∧ b) = ¬ a ∨ ¬ b, то есть 0 при a=b=1 и =1 – в обратном случае.

                ¬ (a ∨ b) = ¬ a ∧ ¬ b, то есть  -(1) = 0 или –(0) = 1, то есть  =  0 при а=1 или b=1 и 1 – в обратном случае.

Другими словами:

Если перед скобкой стоит знак НЕ, то при открытии скобок следует менять на противоположные все знаки, стоящие перед логическими выражениями ("+" на "-" и наоборот) и логические операции ("И" на "ИЛИ" и наоборот):

                 ¬ (А & В) = (¬ А) V (¬ В), то есть НЕ (А И В) = (НЕ А) ИЛИ (НЕ В)

                 ¬( А V  В) = (¬ А) & (¬ В), то есть НЕ (А ИЛИ В) = (НЕ А) И (НЕ В)

Например,

       НЕ ((Первая буква гласная) И (Последняя буква согласная)) = 

                                 =НЕ (Первая буква гласная) ИЛИ НЕ (Последняя буква согласная)

        При открытии скобок с математическими сравнениями внутри следует помнить, что знаков сравнения всего три:  (больше),  ), и при открытии скобок с отрицанием перед ними следует менять эти знаки на противоположные, то есть: