Занятие №55. Функции, их свойства и графики.

Занятие № 55.

Функции, их свойства и графики.

Образовательная цель: Обобщить знания об изученных функциях и их свойствах. Рассмотреть применение функций в различных областях знаний. Проверить усвоение обучающимися данной темы.

Развивающая цель: Развивать мыслительную деятельность, творческие способности и логическое мышление обучающихся.

Воспитательная цель: воспитывать познавательную активность, культуру общения, прививать интерес к предмету

Тип урока: обобщение знаний

Ход занятия

I. Организационный момент. Сообщение темы и цели занятия.

- Ребята, мне попалась на глаза интересная задача. Подумайте, можно ли по её условию составить уравнение.

Если шофёру господина министра 40 лет 3 месяца и 12 дней, а мост в городе Квебек в Канаде имеет длину 577 метров, то на скольких желтках нужно замесить лапшу, чтобы накормить 6 человек различного возраста, если принять во внимание, что ширина полотна на железных дорогах Боснии составляет 0, 7 метра?

- Можно ли по условию задачи составить уравнение? (безусловно, нет)

- Почему? (Потому что величины, входящие в условие задачи, никак между собой не связаны. Ни одна из них, как мы говорим, не является функцией от другой).

- Вот сегодня на занятии мы обобщим знания, связанные с понятием функции, рассмотрим примеры задач из различных областей знаний, связанных с функциями, и проверим уровень усвоения материала темы.

II. Основная часть.

1. Понятие функции.

- А что же такое функция?

- А вы знаете, что слово “функция” (от латинского function – исполнение, осуществление) в математике впервые употреблено немецким математиком В.Г.Лейбницем. Но сами функции и способы их задания фактически изучались людьми очень давно.

Знаменитый древнегреческий историк Геродот в 425 году до нашей эры писал, что египетские цари, разделив землю между египтянами, брали ежегодный налог, пропорциональный площади занимаемого участка. Конечно, ни египетские цари, ни землевладельцы, ни сам Геродот не произносили слова “функция”, но ведь речь идёт о том, что каждому значению площади соответствовало некоторое значение налога.

Хотя в древности функций не знали, но явления, которые мы сегодня описываем с их помощью, давно известны людям.

- Какие ещё понятия связаны с понятием функции?

(Даются определения: зависимая переменная, независимая переменная, область определения, множества значений функции, график функции).

2. Способы задания функции.

- Какими способами может задаваться функция? (табличный, графический, словесный, аналитический).

А). - Приведите пример табличного способа задания функции (классный журнал, календарь, турнирная таблица и др.)

- Сейчас внимательно послушайте математический софизм о том, как студент, используя аналитический и табличный способы задания функции, построил их графики и найдите ошибку.

Математический софизм (рассказывает обучающийся, получивший предварительное задание).

Студенту было предложено построить графики функций:

а). y=x³

б). y=4x.

Используя аналитическое задание, он построил таблицы значений для некоторых значений аргумента.

По полученным таблицам построил схематические графики функций.

Студент получил одинаковые графики и сделал вывод, что равенство x³ = 4x является тождеством.

В чём ошибка?

Б). Рассмотрим словесный способ задания функции.

- Какие из следующих словесных описаний задают функцию?

• Каждому чётному натуральному числу ставится в соответствие 1, а нечетному 2.

Что будет являться графиком данной функции?

• Каждому числу ставится в соответствие оно само.

Каким уравнением задаётся такая функция? Как выглядит её график?

- Задайте словесно функцию y=x².

- Мы рассмотрели понятие функции, способы задания функции, а сейчас вспомним изученные функции и их свойства.

3. Функции и их свойства.

-Какие функции мы с вами изучили?

А). Прямая пропорциональность.

- Какая функция называется прямой пропорциональностью?

- Как называется число k?

- Как ведёт себя функция в зависимости от знака k? От числового значения k?

- Опишите свойства функции   по плану:

1. D(y)

2. E(y)

3. четверти

4. ограниченность

5. y_наиб.; y_наим.

6. монотонность

7. непрерывность

- Прямая пропорциональность имеет конкретный практический смысл. Приведите примеры прямопропорциональных величин.

Вывод. Совершенно разные явления, взаимодействия между величинами описываются одной и той же функцией.

Б). Линейная функция

1. - Дать определение линейной функции.

- Опишите свойства функции   по плану.

Исследовательская работа в парах.

- Даны кусочно-заданные функции. Провести исследование функций, ответить на вопросы.

- Назвать область определения функции f(x);

- Назвать множество значений функции g(x);

- Решить уравнение g(x)=0;

- Решить уравнение f(x)=g(x);

- При каких значениях аргумента функция g(x) принимает отрицательные значения?

- Сравнить числовые коэффициенты прямых, образующих графики f и g на отрезках   и  .

Взаимопроверка.

В). Квадратичная функция.

- Какая функция называется квадратичной?

- Опишите свойства функции   по плану.

Работа с графиками функций.

- На рисунке изображён график зависимости тормозного пути автомобиля от скорости движения:

• по сухому асфальту,

• по мокрому асфальту,

• в гололёд.

- Какой график соответствует каждому движению?

Функция зависимости тормозного пути автомобиля от скорости движения задаётся формулой:

, где S – тормозной путь, m – масса автомобиля, F – сила трения, V – скорость автомобиля.

Используя графики функций ответьте на вопросы:

Чему равен тормозной путь автомобиля при скорости 40 км/ч в каждом случае?

Какую дистанцию нужно соблюдать двум автомобилям, движущимся при дожде со скоростью 60 км/ч?

На каком наименьшем расстоянии от вас должен находиться автомобиль, движущийся со скоростью 40 км/ч, для того, чтобы вы могли безопасно перейти дорогу в гололёд?

Вывод. Даже в такой житейской ситуации, как переход дороги в гололёд, нам окажет помощь квадратичная функция и её график.

Г). Обратная пропорциональность.

- Какая функция называется обратной пропорциональностью?

- Опишите свойства функции   по плану.

- Где в жизни мы встречаемся с обратно пропорциональной зависимостью?

- Ещё интересен такой факт. Из физики вы знаете, что тело, брошенное под углом к горизонту, летит по параболе. Но если придать ему начальную скорость V₀ в пределах 7,9 V₀ 11,2, то оно на Землю не упадёт, а превратится в её спутник, движущийся по эллипсу. Именно так и летают искусственные спутники Земли. При скорости большей 11,2 км/с тело начнёт двигаться по параболе и уйдёт от Земли навсегда. Навсегда уйдёт оно от Земли и при V₀ 12 км/c, но тут уж оно будет двигаться по гиперболе.