Задачи на прогрессии в заданиях ОГЭ

Новые задания ОГЭ по теме «Прогрессия»

Задача № 14 на ОГЭ 2022-2023 г.

• Задание на работу с последовательностями и прогрессиями (задание 12 в КИМ 2020 г.) заменено на задание с практическим содержанием, направленное на проверку умения применять знания о последовательностях и прогрессиях в прикладных ситуациях (задание 14 в КИМ 2021 г. и 2022г.).

Виды заданий на данной позиции в КИМах   (по  кодификатору ):

-   Арифметическая прогрессия. Формула общего члена арифметической прогрессии; - Формула суммы первых нескольких членов арифметической прогрессии; - Геометрическая прогрессия. Формула общего члена геометрической прогрессии; - Формула суммы первых нескольких членов геометрической прогрессии.  

Задача 1.

Вика решила начать делать зарядку каждое утро. В первый день она сделала 30 приседаний, а в каждый следующий день она делала на одно и то же количество приседаний больше, чем в предыдущий день. За 15 дней она сделала всего 975 приседаний. Сколько приседаний сделала Вика на пятый день?

Ответ: 50

Решение:

Дано: а 1 = 30, S 15 = 975

Найти: а 5

Решение: а n = а 1 + (n-1)d

а 2 = 30 + d, а 3 = 30 + 2 d, …, а 5 = 30 + 4d, …, а 15 = 30 + 14 d.

S n = , S 15 = (30+30+14 d):2 ·15,

(60+14 d ): 2 ·15 = 975/:15

(60+14 d ): 2 = 65/·2

60+14 d = 130

14 d = 70

d = 5

а 5 = 30 + 4d = 30 +4·5 = 50.

Ответ: 50

Задача 2

При проведении химического опыта реагент равномерно охлаждали на 7,5 °С в минуту. Найдите температуру реагента (в градусах Цельсия) спустя 6 минут после начала проведения опыта, если начальная температура составляла -8‚7 °С.

Ответ: -53,7

Решение:

I способ:

За 6 минут температура понизилась на: 6·7,5 = 45 °С

От начальной температуры -8,7 °С она понизилась до: -8,7 – 45 = –53,7 °С

II способ:

  Дано: а 1 = -8,7 ; d = -7,5; время – 6 минут

Найти: а 7

Решение:

а 7 = а 1 + 6 d = -8,7 + 6 · (-7,5) = - 53,7 °С

Ответ: - 53,7

Задача 3

В течение 20 банковских дней акции компании дорожали ежедневно на одну и ту же сумму. Сколько стоила акция компании в последний день этого периода, если в 9-й день акция стоила 888 рублей, а в 13-й день — 940 рублей?

Ответ: 1031

Решение:

Дано: 9 день – 888 руб., 13 день – 940 руб.

Сколько стоила акция в 20 день - ?

I способ:

Каждый день акции дорожают на  одну и ту же сумму .

В промежуток  с 9-го по 13-й  день акции  выросли  в цене: 13 – 9 =  4 раза

  За эти  4 дня  акции  подорожали   на : 940 – 888 =  52 рубля

Значит,  каждый день  они  дорожают   на : 52 : 4 =  13 рублей

  С 13-го по 20-й  день акции  вырастут : 20 – 13 =  7 раз

  На 20-й день  они будут стоить: 13-й день + 7·13 =  940 + 7·13 =  1031 руб .

II способ:

Дано: а 9 = 888, а 13 = 940. Найти: а 20

Решение:

а 9 = а 1 + 8 d а 1 + 8 d =888

а 13 = а 1 + 12d а 1 + 12d = 940

4d = 52, d = 13

а 1 + 8 d =888, а 1 =888 - 8 d = 888 – 8· 13= 888-104=784

а 20 = а 1 + 19 d = 784 + 19 · 13 =784+247= 1031 Ответ: 1031

Задача 4

Каждое простейшее одноклеточное животное инфузория-туфелька размножается делением на 2 части. Сколько инфузорий было первоначально, если после пятикратного деления их стало 960?

Ответ: 30

Решение:

I способ:

Пятикратное деление, означает, что каждый раз (из пяти) их число удваивалось и увеличилось в =32 раза. Следовательно, изначально животных было: 960:32 = 30

II способ:

Дано : b 6 = 960, q = 2

Найти: b 1

Решение: b n = b 1 ·

b 1 = b 6 /

b 1 = 960/32

b 1 = 30

Ответ: 30

Задача 5

Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 5 минут. В какой по счёту день продолжительность процедуры достигнет 1 часа?

Ответ: 10

Решение:

I способ:

1 час – это 60 минут. В первый день процедура составляла 15 минут, значит, последующие 60-15 = 45 минут это прибавка за каждый новый день. Получаем число дней (не считая первого): 45:5 = 9 дней.

Получаем, что на 9+1 = 10 день процедура составила указанное время.

II способ:

Дано: а 1 = 15, d = 5, а n = 60

Найти: n

Решение: а n = а 1 + (n – 1) d ,

15+ (n – 1) · 5 = 60, (n – 1)· 5 =60-15, (n – 1) · 5 =45

n -1=9

n = 10

Ответ: 10

Задача 6 - 7

6) В 8:00 часы сломались и за каждый следующий час отставали на одно и то же количество минут по сравнению с предыдущим часом. В 23:00 того же дня часы отставали на 15 минут. На сколько минут отставали часы спустя 36 часов после того, как они сломались?

Ответ: 36

7) В 11:00 часы сломались и за каждый следующий час отставали на одно и то же количество минут по сравнению с предыдущим часом. В 21:00 того же дня часы отставали на двадцать минут. На сколько минут отставали часы спустя 24 часа после того, как они сломались?

Ответ: 48

Решение:

6 ) Сначала вычислим отставание часов за один час. Известно, что за время: 23:00 – 8:00 = 15 часов

Отставание составило 15 минут. Значит, они отставали 15:15 = 1 минута/час

Спустя 36 часов они будут отставать на 36∙1 = 36 минут

Ответ: 36

7) Сначала вычислим отставание часов за один час.

Известно, что за время: 21:00 – 11:00 = 10 часов

отставание составило 20 минут. Значит, они отставали

20:10 = 2 минуты/час

Спустя 24 часа они будут отставать на

24∙2 = 48 минут

Ответ: 48

Задача 8

В амфитеатре 30 рядов. В первом ряду 12 мест, а в каждом следующем — на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Ответ: 1230

Решение:

I способ:

Амфитеатр можно представить в виде трапеции, у которой верхнее основание равно 12 – число мест в 1-м ряду, а общее число рядов (высота трапеции) h=30:

Тогда общее число мест – это площадь данной трапеции. Вычислим нижнее основание – число мест в 30-м ряду:

а 30 =12 + 29∙2 = 70

И общее число мест, равно

I I способ:

Дано: а 1 = 12, d = 2

Найти: S 30

Решение: S n =

a 30 = а 1 + 29 d = 12+ 29· 2=70,

S 30 = (12+70):2 · 30 = 82:2· 30 =41· 30 =1230

Ответ: 1230

Задача 9:

Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 9 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые пять секунд?

Решение:

1 секунда: 9 метров

2 секунда: 9 + 10 = 19 метров

3 секунда: 19 + 10 = 29 метров

4 секунда: 29 + 10 = 39 метров

5 секунда: 39 + 10 = 49 метров

А теперь посчитаем сколько же он пролетит за все пять секунд падения:

9 + 19 + 29 + 39 +49 = 145 метров.

Ответ: 145

Задача 10

У Кати есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 540 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 10 см?

Решение:

Первый отскок: 540 см

Второй отскок (высота в 3 раза меньше): 540 : 3 = 180 см

Третий отскок: 180 : 3 = 60 см

Четвертый отскок: 60 : 3= 20 см

Пятый отскок: 20: 3 = 6 см

Ответ: 5

Задача 11

Врач прописал пациенту принимать лекарство по такой схеме: в первый день он должен принять 3 капли, а в каждый следующий день — на 3 капли больше, чем в предыдущий. Приняв в день 30 капель, он ещё 3 дня пьёт по 30 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает приём на 3 капли. Сколько пузырьков лекарства нужно купить пациенту на весь курс приёма, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?

Ответ:  2.

Решение:

На первом этапе приёма капель число принимаемых капель в день представляет собой возрастающую арифметическую прогрессию с первым членом, равным 3, разностью, равной 3 и последним членом, равным 30. Следовательно, этап, когда число капель в день с 3 капель возрастает до 30, продолжается:

   + 1 = 10 дней ( учитывая первый день приема + 1)

Суммарное число капель, принятых в этот период, представляет собой сумму арифметической прогрессии:

S 10 = (3+30)/2 · 10 = 165 капель за 10 дней

Затем в течение трёх дней пациент принимает ещё: 30· 3 = 90 капель

Последний этап приёма начинается с того момента, когда пациент уменьшит число принимаемых капель на 3, то есть примет в день 27 капель.

Этот этап длится   +1 = 9 дней

  Аналогично первому этапу: S 9 = (27+3)/2 · 9= 135 капель за 9дней

За весь курс приёма пациенту нужно принять 165 + 90 + 135 = 390 капель.

Определяем количество пузырьков: 390 : 250 =1,56 , округляем с избытком и получаем минимальное количество пузырьков лекарства — 2.

  Ответ:  2.

Задача 12

Грузовик перевозит партию щебня массой 216 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 7 тонн щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено на восьмой день, если вся работа была выполнена за 12 дней.

Дано: а 1 = 7, S 12 = 216, а 8 -?

Решение:

S 12 = (2 · 7+ 11d) /2 · 12

(14+ 11 d)/ 2 · 12 = 216 / :12

(14+ 11 d)/ 2 = 18 / · 2

14+ 11 d = 36

11 d = 22

d = 2,

а 8 = а 1 + 7 d = 7+7·2=21 тонну перевезли на 8 день.

Ответ: 21

Задача 13

При проведении химической реакции в растворе образуется нерастворимый осадок. Наблюдения показали, что каждую минуту образуется 0,4 г осадка. Найдите массу осадка (в граммах) в растворе спустя девять минут после начала реакции.

Решение:

Масса осадка в растворе спустя девять минут после начала реакции: 0,4 · 9 = 3,6 грамма

Ответ: 3,6

Задача 14

В ходе бета-распада радиоактивного изотопа А каждые 7 минут половина его атомов без потери массы преобразуются в атомы стабильного изотопа Б . В начальный момент масса изотопа А составляла 480 мг. Найдите массу образовавшегося изотопа Б через 35 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Дано: q = ½ , b 1 = 480 мг , каждые 7 минут – происходит преобразование.

Найти: массу изотопа Б через 35 минут

Решение: 35 : 7 = 5 этапов

Значит q будет в 5 степени, значит находим b 6 = b 1 ·

Б 6 = 480 · = 480 · = 15 грамм

Ответ: 15

Задача 15

Ира зовет гостей на день рождения в ресторан. В ресторане в наличии имеются лишь квадратные столики, за которыми умещается не более 4 человек. Если соединить два квадратных стола, то получится стол, за которым умещается до 6 человек. На рисунке изображен случай, когда соединили 3 квадратных столика. В этом случае получился стол вместимостью до 8 человек. Найдите наибольшую вместимость стола, который получится при соединении 11 квадратных столиков в ряд.

Дано: а 1 = 4, а 2 =6, а 3 = 8

Найти: а 11

Решение: а 11 = а 1 + 10 d

d = 6-4 = 2

а 11 = 4+ 10· 2=24 (чел.)

Ответ: 24