Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве часть 1

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве

КЭИФ I курс

Преподаватели:

Князева Светлана Евгеньевна

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и впоследствии подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели.

Лейбниц

Взаимное расположение прямых в пространстве

Основными фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости

В

А

С

а

b

I

а

II

В

С





а

Способы задания прямой в пространстве

b

l

a

p

π

β

γ

I

II

Три случая взаимного расположения прямых в пространстве

c

b

III

4

b

a

α

β

Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

5

скрещивающиеся

параллельные

пересекающиеся

равные

а и b

Лежат

ли в одной

плоскости?

Нет

Да

Имеют

хотя бы одну

общую

точку?

Да

Нет

Имеют

более одной

общей

точки?

Нет

Да

6

Ненулевой вектор р называется направляющим вектором прямой l , если он либо лежит на этой прямой, либо на прямой, параллельной l .

а

р

р

7

Пусть даны две прямые l 1 и l 2 и со своими направляющими векторами р 1 и р 2 соответственно.

1

l 1

р 1

р 2

l 2

8

Пусть даны две прямые l 1 и l 2 и со своими направляющими векторами р 1 и р 2 соответственно.

2

р 2

l 2

l 1

р 1

9

?

Вопрос:

Какое условие

для векторов

р 1 и р 2

выполняется?

?

10

Ответ:

10

Угол между прямыми l 1 и l 2 равен углу между направляющими векторами р 1 и р 2 .

3

l 1

l 2

р 2

р 1

10

Пример 1

Вектора р 1 и р 2 – направляющие для прямых l 1 и l 2 .

Выясните взаимное расположение прямых l 1 и l 2 , если

13

Решение.

Найдем координаты векторов р 1 и р 2 :

р 1 = 2· a-2 ·b=2 ·(3;-6;1)-2 ·(1;5;4)=(4;-22;-6)

р 2 = a+3 ·b=(3;-6;1)+3 ·(1;5;4)=(6;9;13)

14

Уравнение

Называется каноническим уравнением прямой, проходящей через точку А(а;b;с), параллельно вектору р(m;n;k)

l

р(m;n;k)

A(a;b;c)

15

Пример 2

Прямые l 1 и l 2 заданы своими каноническими уравнениями

При каком значении параметра k прямые l 1 и l 2 перпендикулярны? Постройте эти прямые.

16

Решение.

А(a;b;c) Є l ,

р (m;n;k) - направляющий вектор

проходит через точку А 1 (3;-2;0)

параллельно направляющему вектору р 1 (1;2;k)

16

А(a;b;c) Є l ,

р (m;n;k) - направляющий вектор

проходит через точку А 2 (-4;-2;0)

параллельно направляющему вектору р 2 (4;-7;5)

Найдем, при каком значении параметра k прямые l 1 и l 2 перпендикулярны.

18

р 1 (1;2;k)

р 2 (4;-7;5)

Итак, прямые

и

перпендикулярны. Построим их.

19

Строим прямую l 1 – она проходит через точку А 1 (3;-2;0) параллельно вектору р 1 (1;2;2). Первым шагом строим точку, через которую проходит эта прямая:

z

O

y

А 1

x

20

Вторым шагом строим направляющий вектор р 1 (1;2;2):

z

р 1

y

O

А 1

x

21

Третьим шагом проводим через точку А 1 прямую параллельно вектору р 1 :

22

Строим прямую l 2 – она проходит через точку А 2 (-4;-2;0) параллельно вектору р 2 (4;-7;5) . Первым шагом строим точку, через которую проходит эта прямая:

z

А 2

O

y

x

23

Вторым шагом строим направляющий вектор р 2 (4;-7;5):

z

А 2

р 2

y

O

x

24

Третьим шагом проводим через точку А 2 прямую параллельно вектору р 2 :

z

А 2

р 2

y

O

x

25

Пример 3

Прямые l 1 и l 2 заданы своими каноническими уравнениями

При каком значении параметра k прямые l 1 и l 2 параллельны? Постройте эти прямые.

26

Решение.

А(a;b;c) Є l ,

р (m;n;k) - направляющий вектор

проходит через точку А 1 (-2;3;-5)

параллельно направляющему вектору р 1 (-1;-3;k)

26

А(a;b;c) Є l ,

р (m;n;k) - направляющий вектор

проходит через точку А 2 (5;-1;4)

параллельно направляющему вектору р 2 (-2;-6;6)

Найдем, при каком значении параметра k прямые l 1 и l 2 параллельны.

28

?

Вопрос:

?

Какое условие

для векторов

р 1 и р 2

выполняется?

29

Если векторы р 1 (m 1 ;n 1 ;k 1 ) и р 2 (m 2 ;n 2 ;k 2 ) коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны, т.е.

р 1 (-1;-3;k)

р 2 (-2;-6;6)

Итак, прямые

и

параллельны. Построим эти прямые.

29

Строим прямую l 1 – она проходит через точку А 1 (-2;3;-5) параллельно вектору р 1 (-1;-3;3). Первым шагом строим точку, через которую проходит эта прямая:

31

Вторым шагом строим направляющий вектор р 1 (-1;-3;3):

32

Третьим шагом проводим через точку А 1 прямую параллельно вектору р 1 :

33

Строим прямую l 2 – она проходит через точку А 2 (5;-1;4) параллельно вектору р 2 (-2;-6;6). Первым шагом строим точку, через которую проходит эта прямая:

34

Вторым шагом строим направляющий вектор р 2 (-2;-6;6):

35

Третьим шагом проводим через точку А 2 прямую параллельно вектору р 2 :

36