Вычисление и упрощение выражений. Подготовка к ОГЭ.

Повышенный уровень (2 часть)

Тема: «Вычисление и упрощение выражений»

Повтори:

• Действия с обыкновенными дробями;
• Действия с десятичными дробями;
• Действия с положительными и отрицательными числами;
• Действия со степенями;
• Действия с арифметическими квадратными корнями;
• Формулы сокращённого умножения.

Сложение и вычитание обыкновенных дробей

1) Если знаменатели дробей одинаковы, то для того, чтобы сложить (вычесть) дроби, надо сложить (вычесть) их числители, а знаменатель оставить тем же.

2) Если знаменатели дробей различны, необходимо сначала привести дроби к общему знаменателю, а затем применить первое правило.

3) При сложении смешанных чисел их целые и дробные части складываются отдельно.

При вычитании смешанных чисел целые и дробные части вычитают отдельно, если числитель уменьшаемого меньше числителя вычитаемого, то необходимо занять единицу из целой части:

Умножение обыкновенной дроби на целое число     

Умножить некоторое число на дробь означает умножить его на числитель и разделить произведение на знаменатель.

Умножение обыкновенной дроби на дробь     

Для перемножения дробей необходимо перемножить отдельно их числители и знаменатели и разделить первое произведение на второе.

Деление обыкновенной дроби на целое число     

Для того, чтобы разделить некоторое число на дробь, необходимо умножить это число на обратную дробь :

Для того, чтобы разделить обыкновенную дробь на число, необходимо умножить эту дробь на обратное число :

Деление обыкновенной дроби на дробь       

Для того, чтобы разделить обыкновенную дробь на обыкновенную дробь, необходимо деление заменить на умножение, а вторую дробь на обратную дробь :

Для того, чтобы разделить обыкновенную дробь на смешенное число, необходимо сначала смешенное число заменить на неправильную дробь, затем деление заменить на умножение, а вторую дробь на обратную дробь :

Сложение и вычитание десятичных дробей

Эти операции выполняются так же, как и сложение и вычитание целых чисел. Необходимо только записать соответствующие десятичные знаки один под другим ( запятая под запятой).                    

3,07

+11,354

0,009

-----------

14,433

12,070

- 11,354

-----------

0,616

Умножение десятичных дробей

На первом этапе перемножаем десятичные дроби как целые числа, не принимая во внимание десятичную точку. Затем применяется следующее правило: количество десятичных знаков в произведении равно сумме десятичных знаков во всех сомножителях.

3,079

х 0,0064

-----------

+12316

18474

-----------

0,0197056

Замечание :  до простановки запятой в ответе нельзя отбрасывать нули в конце!

Деление десятичной дроби на целое число     

  Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо:         1) разделить дробь на это число, не обращая внимания на запятую;       2) поставить в частном запятую, когда закончится деление целой части.    

Деление и умножение десятичной дроби на 10, 100, 1000, …     

  При делении десятичной дроби на   10 ,  100 , 1000 , ... надо перенести запятую в этой дроби влево на столько знаков, сколько нулей в делителе.

    Например:      34,9 : 10 = 3,49 ; 746 : 100 = 7,46 ;  28,1 : 1000 = 0,0281 

  При умножении десятичной дроби на   10 ,  100 , 1000 , ... надо перенести запятую в этой дроби вправо на столько знаков, сколько нулей во множителе.

    Например:      34,9 *10 = 349;  7,046 *100 = 704,6;  28,1 *1000 = 28100

Деление десятичной дроби на десятичную дробь     

При делении на десятичную дробь, сначала переносим запятую в делимом и делителе вправо на столько знаков, сколько их после запятой в делителе. А затем выполняем деление на натуральное число.   Например:                 543,96 : 0,3 = 5439,6 : 3 = 1813,2;                             237 : 0,03 =  23700 : 3 =  7900 .   

Перевод обыкновенной дроби в десятичную дробь   

Обыкновенную дробь можно перевести в десятичную, если в знаменателе стоит число: 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50 и т.д. (делители круглых чисел)

Действия с отрицательными и положительными числами   

Абсолютная величина( модуль ) 

Для  отрицательного числа  – это положительное число, получаемое от перемены его знака с « – » на  « + »;  для  положительного числа   и нуля  – само это число.

Для обозначения абсолютной величины (модуля) числа используются две прямые черты, внутри которых записывается это число.

П р и м е р ы :      | – 5 | = 5,    | 7 | = 7,    | 0 | = 0.

Сложение   

1)   при сложении двух чисел с одинаковыми знаками складываются

      их абсолютные величины и перед суммой ставится общий знак.

     П р и м е р ы :

                                            ( + 6 ) + ( + 5 ) = 11 ;

                                           ( – 6 ) + ( – 5 ) = – 11  .

2)   при сложении двух чисел с разными знаками их абсолютные

      величины вычитаются ( из большей меньшая ) и ставится знак

     числа с большей абсолютной величиной.

     П р и м е р ы :

                                           ( – 6 ) + ( + 9 ) = 3 ;

                                           ( – 6 ) + ( + 3 ) = – 3  .

Вычитание   

Можно заменить вычитание двух чисел сложением, при этом уменьшаемое сохраняет свой знак, а вычитаемое берётся с обратным знаком.

П р и м е р ы :

                           ( + 8 ) – ( + 5 ) = ( + 8 ) + ( – 5 ) = 3;

                           ( + 8 ) – ( – 5 ) = ( + 8 ) + ( + 5 ) = 13;

                            ( – 8 ) – ( – 5 ) = ( – 8 ) + ( + 5 ) = – 3;

                            ( – 8 ) – ( + 5 ) = ( – 8 ) + ( – 5 ) = – 13;

Умножение  

При умножении двух чисел их абсолютные величины умножаются, а произведение принимает знак  « + » , если знаки сомножителей одинаковы, и знак  « – » , если знаки сомножителей разные.

Полезна следующая схема ( правила знаков при умножении ):

  ( + ) · ( + )  = (+)                            

( + )  · ( – )  =  (–)

( – )  ·  ( + )  =  (–)

( – )  ·  ( – )  = (+)

При умножении нескольких чисел ( двух и более ) произведение имеет знак « + » , если число отрицательных сомножителей чётно, и знак « – » , если их число нечётно.                                     

Деление  

При делении двух чисел абсолютная величина делимого делится на абсолютную величину делителя, а частное принимает знак  « + » , если знаки делимого и делителя одинаковы, и знак  « – » , если знаки делимого и делителя разные.

Здесь действуют  те же   правила знаков, что и при умножении :

                            (+)  :  (+) = (+)

                            (+)  :  (–) = (–)

                            (–)  :  (+) = (–)

                          (–)  :  (–) = (+)

П р и м е р :    ( – 12 ) : ( + 4 ) = – 3 .

Степень и её свойства

Арифметический квадратный корень и его свойства

если

если

Арифметическим квадратным корнем  из числа  а  называется неотрицательное число  b , квадрат которого равен  а :

√ а = b ( при a ≥ 0, b ≥ 0), b 2  =  a

Формулы сокращённого умножения   

19