Возведение двучлена в степень.
Эта тема для тех, кто любит решать задания повышенной сложности, кто интересуется алгеброй или для тех, кто собирается продолжить своё обучение в заведениях с углублённым изучением математики.
Начнём с простого. Первая формула, которую мы разобрали ранее, это квадрат суммы или разности. Вывод этой формулы сводился к умножению двух одинаковых двучленов и приведению подобных слагаемых. Здесь всё просто.
Следующая формула – куб суммы или разности двух выражений. Напомним, как она выводится.
Итак, получили формулу:
Таким же образом выведем формулы четвёртой и пятой степени двучлена:
Таким же образом можно вывести и другие формулы любой степени, но способ этот трудоёмкий. Попробуем найти закономерность в этих формулах. Во-первых, замечаем, что если в степень возводится сумма двух слагаемых, то все знаки будут положительные, а если в степень возводится разность двух слагаемых, то знаки чередуются, начиная со знака «плюс». Во-вторых, что степени первого слагаемого уменьшаются от п до 0, а степени второго слагаемого увеличиваются от 0 до п. Трудности возникают при определении коэффициентов. Первый и последний коэффициент всегда единица. Второй и предпоследний коэффициент равен показателю степени, в которую возводится двучлен. А вот дальше мы видим, что закономерность пока неясна.
Выпишем коэффициенты для Напомним, что .
В
этом треугольнике есть ещё одна интересная закономерность. Попробуйте найти сумму всех коэффициентов для каждого значения п. Заметили? Посмотрим вместе.
Сумма всех коэффициентов равна степени с основанием 2 и показателем, равным показателю степени, в которую возводится двучлен.
Этот треугольник впервые построил Блез Паскаль, поэтому он называется треугольником Паскаля. Попробуйте составить коэффициенты при
Теперь посмотрим с практической точки зрения. Если нам нужно раскрыть формулу седьмой, восьмой или более высокой степени, то строить треугольник хоть и не сложно, но долго. Существует формула для разложения степени двучлена в многочлен, вывел её Ньютон.
Формула бинома Ньютона для натуральных n имеет вид
где - биномиальные коэффициенты, представляющие из себя сочетания из по а – это знак факториала и так далее.
К примеру, известная формула сокращённого умножения "квадрат суммы" вида
где - есть частный случай бинома Ньютона при . Запишем с помощью этой формулы шестую степень двучлена.
Формула на первый взгляд кажется сложной, но, применив её несколько раз, приходит понимание и она уже не кажется такой сложной.
Например, представить в виде многочлена, используя бином Ньютона:
Находим биномиальные коэффициенты:
Сумма всех коэффициентов должна равняться . Проверим это:
Значит, коэффициенты посчитаны верно.
Рассмотрим ещё один пример. Найти произведение и частное сочетаний:
Используя треугольник Паскаля, представьте в виде многочлена:
Используя формулу бинома Ньютона, представьте в виде многочлена:
Выполнить действия с сочетаниями:
Представить в виде многочлена выражения:
2