Векторный метод при решении геометрических задач

Маркелова Светлана Валериевна МБОУ «Гимназия» Город Черногорск

Применение векторного метода в решении геометрических задач.

=

|

=

²

∙

=0

┴

Цель работы:

Обоснование особенностей решения различных типов задач векторным методом.

Задачи работы:

1.Изучить типы задач, которые можно решить векторным методом;

2.Научиться решать задачи, используя векторный метод;

3.Разработать рекомендации для решения задач в общем виде.

Гипотеза:

Векторный метод является универсальным при решении геометрических задач.

DK =2 = DS =3 = + 3. S = DS ∙ AB =2∙3=6 кв.ед 4. " width="640"

В параллелограмме ABCD длины сторон AB и CD соответственно равны 2 и

На стороне AD отмечена точка Е- ее середина. Найдите площадь этого параллелограмма, если известно, что диагональ A С перпендикулярна отрезку ВЕ.

Дано :

ABCD -параллелограмм

BE ┴ AC

BC=

AB=2

AE=ED

Найти :S

Решение:

S

O

K

AB

KS =

1 .

AS = SB = SK =1

2.

=

= DK =2 = DS =3

=

+

3.

S = DS ∙ AB =2∙3=6 кв.ед

4.

В параллелограмме ABCD длины сторон AB и CD соответственно равны 2 и

На стороне AD отмечена точка Е- ее середина. Найдите площадь этого параллелограмма, если известно, что диагональ A С перпендикулярна отрезку ВЕ.

Дано :

ABCD -параллелограмм

BE ┴ AC

BC=

AB=2

AE=ED

Найти :S

Решение:

+

=

.

1 .

=

-

)

=

=

) ∙ (

+

(

∙

+1

–

–

=

=

2.

=2 ∙

=6 кв . ед .

∙

S = AB ∙AD ∙

3.

= ) - 2 (4 = AD =| |= | =4 2. " width="640"

²=

|=

В параллелограмме ABCD точка K -середина стороны BC , а точка М-середина стороны CD .Найдите AD , если АК=6, АМ=3, ∠ KAM =60°.

Дано :

ABCD -параллелограмм

BK = KC , MC = MD

АК=6, АМ=3

∠ KAM =60°

Найти: AD

Решение:

60°

+

=

1.

=

+

=

=

)

- 2

(4

=

AD =|

|=

|

=4

2.

1.расстояние от точки до прямой;

2.расстояние от точки до плоскости, угол между прямой и плоскостью;

3.расстояние и угол между скрещивающимися прямыми;

4.угол между плоскостями.

Основанием пирамиды SABC является равносторонний треугольник ABC , длина стороны которого равна 4 . Боковое ребро SC перпендикулярно к плоскости и имеет длину 2. Найдите величину угла и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку S и середину ребра BC , а другая проходит через вершину С и ребро AB .

Дано:

SABC -пирамида

Основание - ABC -равносторонний треугольник

AB=4

MC=BM

BN=AN SC┴ ( ABC )

SC=2

Найти : ρ (SM;CN),∠(SM;CN)

Решение:

2

4

32

16

0

2

16

32

0

0

4

0

-

=

1.

4

=

(

)

+

=

2.

|

)

) (

(

=

∙

+

- 2

= 12

γ = 45°

=

|

|=

=

|

|=

=2

=x

PO = ρ( SM ; CN )

1.

(y+x)-

(y

+

(2x+2))

+y

+

2

=

=0

2.

=0

∙

O

4

-

)

(

-2

=

3.

| | =

=

Дано:

l ₁ ; l ₂ - прямые

- направляющий вектор прямой l ₁

- направляющий вектор прямой l ₂

Найти: ∠( l ₁; l ₂ )

( l ₂ ; l ₁)

Решение:

l ₁

=

=

l ₂

1.

+

=

+

+

= х

+ y

2.

=

3.

В основании треугольной пирамиды SABC лежит правильный треугольник ABC со стороной 1,ребро SA перпендикулярно плоскости основания, SA = ,плоскость α параллельна SB и AC , плоскость β параллельна прямым SC и AB . Определите величину угла между плоскостями и β .

Дано:

SABC – пирамида

Правильный ∆ ABC – основание

AB =1

SA =

SA ┴ ( ABC )

,плоскость

,плоскость

α ║ SB , α ║ AC

β ║ SC , β ║ AB

Найти: ∠( α ; β )

Решение:

и β .

и β .

3

0

0

16

32

½

1

½

0

1.

,

┴ β

┴

,

; β )

φ = ∠ (

=

z = - 2 = x =1; y =4 +4 = -2 " width="640"

∙

2.

=0

=0

∙

-

=

=

= x

+ z

+ y

=

z = - 2 = x =1; y =4

+4

=

-2

u = - 2 = v =4, t =1 = -2 +4 " width="640"

3.

=0

∙

·

=0

-

=

=

+ v

+ u

= t

=

u = - 2 = v =4, t =1

=

-2

+4

" width="640"

= -3

+4

)

+4

-2

) ∙ (

-2

= (

∙

4.

|

|=

=

|

|=

=

=

Угол между двумя плоскостями равен углу между перпендикулярными им прямыми.

Дано:

α и β-плоскости

α∩ β=с

Найти: ∠( α,β)

Решение:

b

a

γ

b ₁

a ₁

с

α

β

Дано:

M – точка

L – прямая с направляющим вектором

АЄ L

MN ┴ L

М∉α

Найти: MN

Решение:

L

= x

-

1 .

α

∙

=0

2.

)∙

-

= 0

( x

=

3.

=

Дано:

α-плоскость

АЄ α

М∉α

MN ┴ α

Найти:

Решение:

α

= x

+ y

-

1.

2.

3.

=

4.