Видеолекция по теме "Логарифмические неравенства"

Тема: Решение логарифмического неравенства (ЗАДАНИЕ ЕГЭ №15)

Цель: сформировать навык решения одного из типов логарифмических неравенств, устранить предметные затруднения при решении данных неравенств.

Теория

Для начала рассмотрим показательное уравнение.

Показательное уравнение - это уравнение, содержащее в себе показательную функцию, т.е. выражение вида а^х.

Например: 2^х=4 и 2^х=6, имеют общую формулу а^х=b.
Уравнение 2^х=4 мы с вами можем решать и х=2, так как 2²=4, а второе уравнение 2^х=6 будет иметь ответ вида log_а b = x - логарифм.

Логарифмом положительного числа b по основанию а(a0, a≠1) называется показатель степени x, в которую надо возвести число а, чтобы получить число b.

log_а b = x, a0, a≠1 a^x = b, b0

Основное логарифмическое тождество: a ^{loga b}= b, a0, a≠1, b0.

Пример: 2^{log2 8}= 8

Свойства логарифмов:

1) log_a1=0, так как любое число а⁰=1.

2) log_a a=1, так как а¹=а

3) log_a (x*y) = log_a x+ log_a y - логарифм суммы равен сумме логарифмов

4) log_a (x/y) = log_a x - log_a y - логарифм разницы, равен разнице логарифмов

5.1) log_a x^p = p * log_a b, где р - степень

5.2) log _a^p b =(1/p)*log_a b

6)

7)

Все формулы работают в обе стороны.

Решения задач:

Решение неравенства:

Практика

1. Найдем ОДЗ:

Из определения логарифма следует, что a0, a≠1, b0.

Тогда:

0 = второе неравенство раскладываем на множители

х² - 4 0

0

(х-2) (х+2) 0 = используем метод интервалов

Из нарисованного следует, что область определения (желтые промежутки) x 2 или (-∞; -2) U (2; + ∞).

1. По свойствам разложим второй логарифм на разницу логарифмов, получим:

-3*(log₂ (x+2)- log₂ (x-2)), множитель -3 выносится за скобку.

3. Разложим: log₂(x²-4) = log₂((х-2)*(х+2)) и по свойству логарифмов =

log₂((х-2) * (х+2)) = log₂ (х-2) + log₂ (х+2).

4.Объединив п.2 и п.3 получим:

log₂ (х-2) + log₂ (х+2) - 3*(log₂ (x+2)- log₂ (x-2))2

log₂ (х-2) + log₂ (х+2) - 3*log₂ (x+2) + 3*log₂ (x-2)2

4*log₂ (х-2) -2* log₂ (x+2)2 -данное неравенство разделим на 2, получим

2*log₂ (х-2) - log₂ (x+2)1, перенесем единицу влево, чтобы получить 0 справа и представим в виде логарифма

2*log₂ (х-2) - log₂ (x+2)- log₂ 2 0, перенесем p в степень

log₂ (х-2)² - (log₂ (x+2) + log₂ 2)0, свернем по формулам суммы и разности логарифмов

log₂ (х-2)² - log₂ 2(x+2) 0, перенесем логарифм влево
log₂ (х-2)² log₂ 2(x+2), так как а1, имеем:

(х-2)² (х+2)*2

х² - 4х+4 2х + 4

х² – 6х 0

Применим метод интервалов:

х(х-6) 0

Вспомним ОДЗ и найдем ответ для этого неравенства: :

Нужные интервалы выделены желтым цветом

Ответ: (-∞; -2) U (6; + ∞).

Интерактивные задания

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Список источников:

1. Открытый банк заданий «Решу ЕГЭ»

2. Платформа https://learningapps.org/

3. https://www.yaklass.ru/materiali?mode=lsntheme&themeid=10

4. https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/logarifmy/

5. https://ege-study.ru/logarifmicheskie-neravenstva-1/

Ссылка на видеолекцию: https://learningapps.org/view17849365 (https://learningapps.org/17849365 )