Векторы обобщающий урок

Геометрия 9 класс

В Е К Т О Р Ы

(Обобщающий урок)

Понятие вектора

• Многие физические величины, характеризуются не только своим числовым значением, но и направлением в пространстве.
• Такие физические величины называются ВЕКТОРАМИ.
• Проверь себя! Какие из данных величин являются векторными: вес, сила, отрезок, ускорение, скорость, масса ?

История

• В 19 веке параллельно с теорией систем линейных уравнений развивалась теория векторов. Направленные отрезки использовал Жан Робер АРГАН (Argand, 1768-1822, швейцарский математик) , ввел термин «модуль комплексного числа» (1814-1815) в работе «Опыт некоторого представления мнимых величин…», опубликованной в 1806 году. Эти отрезки Арган обозначал символами а ,в .
• Одним из основателей теории векторов считается Август Фердинанд Мебиус (1790-1868, немецкий математик), он обозначал отрезок с началом в точке А и концом в точке В символом АВ .
• Термин «вектор» ввел Вильям Роуэн Гамильтон (1805-1865, директор астрономической обсерватории Дублинского университета и президент Ирландской Академии наук) приблизительно в 1845 году. Он же определил скалярное и векторное произведения векторов в 1853 году. Символ [ а,в ] для обозначения векторного произведения ввел немецкий математик и физик Герман Грасман (1809-1877).
• В 1903 году О.Хенричи предложил обозначать скалярное произведение символом (а,в).

• ВЕКТОР - НАПРАВЛЕННЫЙ ОТРЕЗОК.

В КОНЕЦ ВЕКТОРА

а

А НАЧАЛО ВЕКТОРА

Вектор АВ Вектор а

Р а в е н с т в о в е к т о р о в

• ВЕКТОРЫ называются равными , если они сонаправлены и их длины равны. .
• а = в, если а в и а = в .

а

в

Д л и н а в е к т о р а

Длиной или модулем

ненулевого вектора АВ

называется длина отрезка АВ

. Обозначается длина вектора АВ (вектора а ) так :

АВ ( а ).

Длина нулевого вектора равна нулю: 0 = 0

• СОНАПРАВЛЕННЫЕ ПРОТИВОПОЛОЖНО ВЕКТОРЫ НАПРАВЛЕННЫЕ ВЕКТОРЫ

а

в

а

в

с

с

в

а

а

в

К О Л Л И Н Е А Р Н Ы Е В Е К Т О Р Ы

• Ненулевые векторы называются к о л л и н е а р н ы м и , если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

в

а

с

С Л О Ж Е Н И Е В Е К Т О Р О В

• ПРАВИЛО ПРАВИЛО ТРЕУГОЛЬНИКА ПАРАЛЛЕЛОГРАММА

В

В

С

А

А

Д

С

АВ+АД=АС

АВ+ВС=АС

В Ы Ч И Т А Н И Е В Е К Т О Р О В

• Р а з н о с т ь ю в е к т о р о в а и в называется такой вектор, сумма которого с вектором в равна вектору а .

с

а - в = с

а

в + с = а

в

З А К Р Е П Л Е Н И Е И З У Ч Е Н Н О Г О

З А Д А Н И Я (устно)

1). Укажите на рисунке 1:

а) сонаправленные векторы

б) противоположно направлен-

ные векторы

в) равные векторы

2 ).Укажите на рисунке 2 :

а) пары коллинеарных векторов

б) векторы , длины которых

равны ( трапеция равнобедренная)

В

С

О

А

Д

Рис.1

К

М

N

Q

Рис. 2

3). На рис. 3 изображён треугольник МNL Найти:

• а) MN + NL
• б) MN - ML
• в ) ML - MN

N

M

L

Рис.3

4).На рис.4 изображён параллелограмм MNKE . Найти :

• MN + ME
• ME + EK
• KN + KE

N

K

M

E

Рис.4

Разложение вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам

• Если векторы a и b коллинеарны и а ≠ 0 , то существует такое число k , что в= k а.
• Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным вектора, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.
• с= x а+ув, где х и у коэффициенты разложения.

Координаты вектора

• Разложение вектора по координатным векторам. Координатные векторы направлены вдоль осей координат. Длины этих

векторов равны 1

Обозначения: i (1;0), j (0;1)

Любой вектор а можно разложить единственным образом по координатным векторам: а=х i +у j

а {x;y} – координаты вектора а

р

Простейшие задачи в координатах:

• 1.Координаты середины отрезка
• 2. Вычисление длины вектора по его координатам.
• 3. Расстояние между двумя точками.

П Р О В Е Р Ь С Е Б Я !

1). Верно ли утверждение:

• а) Если а=в , то а в
• б) Если а=в , то а и в коллинеарны
• в) Если а=в , то а в
• г) Если а в , то а = в

2). Дан прямоугольник PQRT. Найти:

• а) PQ + QR
• б) PT - PQ
• в) RT + RQ

Q

R

T

P

П Р О В Е Р Ь С Е Б Я !

3 ) Найдите вектор х из условия:

EF- LM- EL+ x =MK

4) Выпишите координаты вектора с, если его разложение по координатным векторам имеет вид с = -6i +2j

5) Дано а {-2;4}, d{3;-1}. Найдите координаты вектора

к =2а – d

6) OA- радиус-вектор точки А, ОА {-5;4}. Какие координаты имеет точка А ?

7 ) Найти координаты вектора RT? Если R(-1;5) , T(6;2).

8) Найдите длину вектора s{3;4}

1. а) да 2. а) PR 3. FK 6. A(-6;4)

б) да б) QT 4. c{-6;2} 7. RT{7;-3}

в) нет в) RP 5. k{-7;9} 8 . IsI=5

г) нет

1. а) да 2. а) PR 3. FK 6. A(-6;4)

б) да б) QT 4. c{-6;2} 7. RT{7;-3}

в) нет в) RP 5. k{-7;9} 8. ISI=5

г) нет

1. а) да 2. а) PR 3. FK 6. A(-6;4)

б) да б) QT 4. c{-6;2} 7. RT{7;-3}

в) нет в) RP 5. k{-7;9} 8. ISI=5

г) нет