Вариант 1: Тренировочный вариант ЕГЭ по математике 2018г (профильный уровень)

Вариант № 1

1.  На одну порцию рисовой каши требуется 40 грамм риса и 0,12 литра молока. Какое наибольшее количество порций каши может приготовить столовая, если в ее распоряжении есть 900 грамм риса и 3 литра молока?

2. На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат — температура двигателя в градусах Цельсия.

Определите по графику, сколько минут двигатель нагревался до температуры 

3. Найдите площадь параллелограмма, изображенного на рисунке.

4.  В магазине три продавца. Каждый из них занят обслуживанием клиента с вероятностью 0,7 независимо от других продавцов. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты.

5. 

Найдите корень уравнения 

6. Стороны параллелограмма равны 38 и 76. Высота, опущенная на первую сторону, равна 57. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.

7. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−4; 8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−2; 6].

8.  Площадь ос­но­ва­ния ко­ну­са равна 36π, вы­со­та — 10. Най­ди­те пло­щадь осе­во­го се­че­ния конуса.

9. Найдите значение выражения  при 

10.  Груз массой 0,4 кг колеблется на пружине. Его скорость v меняюется по закону  где  — время с момента начала колебаний, T = 2 с — период колебаний, м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле  где m — масса груза в килограммах, v — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 23 секунды после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

11. Из городов A и B, расстояние между которыми равно 440 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 4 часа на расстоянии 240 км от города B. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города A. Ответ дайте в км/ч.

12.  Найдите точку минимума функции 

13.  а) Решите уравнение 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

14.  Основанием прямой призмы ABCA₁B₁C₁ является равнобедренный треугольник ABC, боковая сторона которого равна  а угол ACB равен 120°. Найдите расстояние от точки A до прямой B₁C₁, если известно, что боковое ребро данной призмы равно 12.

15.  Решите неравенство: 

16.  Дана трапеция с диагоналями равными 8 и 15. Сумма оснований равна 17.

а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.

б) Найдите площадь трапеции.

17.  В июле планируется взять кредит в банке на сумму 8 млн рублей на срок 10 лет. Условия возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем.

Найдите наименьшую возможную ставку r , если известно, что последний платёж будет не менее 0,92 млн рублей.

18.  Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет единственный корень.

19.  а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого

в 10 раз больше суммы цифр этого числа.

б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 175 раз больше суммы цифр этого числа?

в) Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 50 раз больше суммы цифр этого числа.

Решения заданий 13-19

№13 Решение.

а) Левая часть уравнения определена при , то есть при  Числитель дроби должен быть равен :

Серию  нужно отбросить. Получаем ответ: 

 б) При помощи тригонометрической окружности отберём корни, лежащие на отрезке Получим числа:   

  Ответ: а)  б) 

№14 Решение.

Опустим из точки  перпендикуляр  на прямую  и проведем в плоскости грани  прямую  параллельную прямой Так как  то и  а, значит, прямая является проекцией прямой  на плоскость  Поскольку  то  а, следовательно, и  согласно теореме о трех перпендикулярах.

Далее находим:

1) из 

2) из 

Ответ: 15.

№15 Решение.

Имеем:

Ответ: 

№ 16 Решение.

а) Проведем через точку  прямую параллельную . На пересечении этой прямой и прямой  отметим точку , — параллелограмм.

В теругольнике ACC₁:   

Заметим, что  поскольку , тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник ACC₁ — прямоугольный, угол ACC₁ прямой. Тогда угол COD прямой, что и требовалось доказать.

б) 

Ответ: б) 60.

№ 17 Решение.

Долг перед банком (в млн рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля равномерно:

8; 7,2; 6,4; ...; 1,6; 0,8; 0.

По условию каждый январь долг возрастает на r %. Пусть  тогда последовательность размеров долга (в млн рублей) в январе такова:

8k; 7,2k; 6,4k; ...; 1,6k; 0,8k.

Следовательно, последний платеж составит 0,8k млн рублей.

Получаем , откуда  Значит, 

Ответ: 15.

№ 18 Решение.

Запишем уравнение в виде  Рассмотрим две функции:  и  Графиком функции  является полуокружность радиуса  с центром в точке  лежащая в верхней полуплоскости. При каждом значении  графиком функции  является прямая с угловым коэффициентом  проходящая через точку 

Уравнение имеет единственный корень, если графики функций  и  имеют единственную общую точку: либо прямая касается полуокружности, либо пересекает её в единственной точке.

Касательная  проведённая из точки  к полуокружности, имеет угловой коэффициент, равный нулю, то есть при  исходное уравнение имеет единственный корень. При  прямая не имеет общих точек с полуокружностью.

Прямая  заданная уравнением  проходит через точки  и  следовательно, её угловой коэффициент  При  прямая, заданная уравнением  имеет угловой коэффициент не меньше, чем у прямой  и пересекает полуокружность в двух точках.

Прямая  заданная уравнением  проходит через точки  и  следовательно, её угловой коэффициент  При  прямая, заданная уравнением  имеет угловой коэффициент не меньше, чем у прямой  и меньше, чем у прямой  и пересекает полуокружность в единственной точке. Получаем, что при  исходное уравнение имеет единственный корень.

Ответ: 

№19 Решение.

а) Произведение цифр числа 2529 равно 180, а сумма цифр равна 18, то есть

в 10 раз меньше.

б) Предположим, что такое число n существует и a, b, c, d — его цифры. Заметим, что среди этих цифр не может быть нулей, так как иначе

их произведение было бы равно нулю. Имеем: abcd = 175(a + b + c + d). Правая часть этого равенства делится на 25, поэтому среди цифр найдутся две цифры 5. Так как при перестановке местами цифр числа n равенство abcd = 175(a + + b + c + d) остаётся верным, то без ограничения общности можно считать, что в числе n цифры c и d равны 5.

Тогда  Получаем противоречие.

в) Предположим, что такое число n существует и a, b, c, d — его цифры. Как и ранее, заметим, что среди этих цифр не может быть нулей, так как иначе их произведение было бы равно нулю. Имеем: abcd = 50(a + b + c + d). Правая часть этого равенства делится на 25, поэтому среди цифр найдутся две цифры 5. Без ограничения общности будем считать, что c = d = 5.

Тогда ab = 2(a + b + 10). Так как правая часть последнего равенства делится на 2, то либо a, либо bделится на 2. Будем считать, что на 2 делится b.

Если b = 2, то a = a + 12, что невозможно. Если b = 4, то 2a = a + 14; a = 14, что невозможно.

Если b = 6, то 3a = a + 16; 2a = 16; a = 8. Число n = 8655 и все числа, получаемые из него перестановкой цифр, удовлетворяют условию задачи. Если b = 8, то 4a = a + 18; 3a = 18; a = 6. Этот вариант также получается из предыдущего перестановкой цифр.

Ответ: а) например, 2529; б) нет; в) Число 8655 и все числа, получаемые из него перестановкой цифр (всего 12 чисел).