Урок в 10 классе по теме «Производная»

Урок в 10 классе по теме “Производная»

Цели урока:

Обучающие: систематизировать знания и умения по теме «Производная»: формулы и правила дифференцирования, геометрический и физический смысл производной, применение производной к исследованию функции.

Развивающие: развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся, способность к «видению» проблемы, формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли.

Воспитательные: воспитывать умение работать с имеющейся информацией, умение слушать товарищей, воспитывать уважение к предмету.

Ход урока:

1. Организационный момент.

2. Постановка целей и задач урока:

-Вы уже накопили некоторый опыт нахождения производной. И сегодня мы посмотрим, чему вы научились. Цель нашего сегодняшнего урока – закрепить ваши знания по теме «Производная», проверить ваш уровень обученности по изученному материалу и определить дальнейшие наши задачи.

1. Повторение теоретического материала:

-Перед уроком 11-классники, узнав, что у нас урок по теме «Производная», попросили выполнить им задание на повторение, но задание зашифровано, и чтобы его выполнить, необходимо предварительно ответить на ряд теоретических вопросов по теме «Производная». Задание: назовите фамилию ученого - одного из основоположников дифференциального исчисления.

- Я вам немного помогу: если вы правильно ответите, я назову вам буквы, из которых состоит фамилия, по одной за каждый ответ, а вы из них попробуете ее составить.

Вопросы:

-что такое производная?

-какие смыслы производной существуют?

-в чем состоит геометрический (физический) смысл производной?

-что значит продифференцировать?

-какая функция называется дифференцируемой в точке х₀?

-какую формулу имеет уравнение касательной?

(После получения правильных ответов учитель открывает квадраты с буквами, из которых учащиеся составляют фамилию)

ЛЕЙБНИЦ

^{11-классники спасены. Ответ: Лейбниц}

1. Применение теоретического материала к решению задач (устная работа)

1. -Найдите производную функции: (цепочкой)

На доске:

1. У=3х 10. У=

2. У=4х² 11. У=

3. У=х^-5 12. У=4-х⁴

4. У= 13. У= +х + 1

5. У= +5х - 2 14. У= sin²х

6. У=х²+3sinх 15. У = cos 2х

7. У=3х²+2х+5 16. У =++1

8. У=+5 17. У=tq (4х - )

9. У= 18. У=(6-2х)⁴

1. - Установите соответствие:

(учащиеся выходят по одному к доске и стрелками устанавливают

соответствие между столбцами таблицы)

1. Производная какой функции равна: (показываю карточки)

1. 2х + 4

2. 16х³ – 4

3. Sin х + cоs х

1. Закрепление пройденного в ходе решения задач:

1. –- Повторите, в чем заключается геометрический смысл производной?

(значение производной в точке х₀ равно угловому коэффициенту касательной , проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой х₀)

А) - Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции у=f(х) в точке с абсциссой Х₀:

f(х)=(2х – 3)⁶, Х₀ =2. Ответ: 12

-Что можно сказать про угол наклона касательной по найденному значению k?

Б) - найдите тангенс угла между касательной к графику функции и положительным направлением оси абсцисс, если:

g(х)=cos ; х₀= ответ: -

-Что можно сказать про угол наклона касательной по найденному значению тангенса?

В) Прямая у=3х-5 параллельна касательной к графику функции у=х²+2х-7. Найдите абсциссу точки касания. Ответ: 0,5

Г) Решение задачи В37 из тематических тренировочных заданий

(c. 56)

2) Разберем решение ещё некоторых задач, связанных с геометрическим смыслом производной. Это задания ЕГЭ В8.

А) - На рисунке изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой х₀. Найдите значение производной функции в точке с х₀.(с. 10 из в8)

Решение:

Значение производной функции в точке х₀ равно тангенсу угла – угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику этой функции в этой точке. Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых – целые числа.

Знак производной (углового коэффициента) можно определить по рисунку, например, так: если касательная «смотрит вверх», то производная положительна, если вниз, то отрицательна (если касательная горизонтальна, то производная равна 0).

Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим треугольник АВС (см. рисунок).

Модуль углового коэффициента будет равен ВС: АC=9:3=3

Ответ: 3

- У вас на столах лежат листы с заданиями. Возьмите лист №1.

(с. 13 из В8)

Выполните задания 1 и 2. Ответы запишите в таблице под рисунком.

На рисунке изображены график функции и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой х_0. Найдите значение производной функции в точке х_0.

В) На рисунке 1 изображен график функции, определенной на интервале (-9;8). Определите количество целых точек на этом интервале, в которых производная функции положительна.

Решение:

Целые точки – это точки с целочисленными значениями абсцисс (х).

-Как на графике найти промежутки, где производная положительна?

(производная функции положительна, если функция возрастает)

-На втором рисунке отмечены точки, принадлежащие промежуткам возрастания, в которых производная функции положительна, это точки: -8, -7, -5,-4, -3, 0, 2, 3, 4, 6.количество этих точек равно 10.

Ответ: 10.

Г) У вас на столах лежат листы с заданиями. Возьмите лист №2.

(с.22-23 из В-8)

Выполните задания:3,4- коллективно, 5 - сам-но. Ответы запишите в указанном месте.

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-1;12).

Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-2;12).

Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

На рисунке изображен график функции у =f(х), определенной на интервале (-1; 13). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

На рисунке изображен график функции у =f(х), определенной на промежутке (-8; 5). Определите количество целых точек, в которых производная положительна.

3) -Теперь разберем несколько задач, в которых дан график производной функции.

А) На рисунке 3 изображен график производной функции у =f(х), определенной на интервале (-7,5 ; 7). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у=х+1 или совпадает с ней.

Решение:

Касательная к графику функции параллельна прямой у=х+1 или совпадает с ней, если её угловой коэффициент k=1. Но значение углового коэффициента касательной равно значению производной в точке касания, т. е. нам надо найти точки, в которых производная равна 1. Построим прямую у=1, параллельную оси ОХ.

-Сколько общих точек имеют прямая и график функции? (4)

-Это и значит, что производная равна 1 в этих четырех точках, и в них касательная к графику функции параллельна прямой у=х+1 или совпадает с ней.

Ответ: 4.

Б) - Возьмите лист с заданиями.

(с.30-31 из В-8)

-На рисунке изображен график производной функции у =f(х), определенной на интервале (-1;10). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=-3х+5.

-На рисунке изображен график производной функции у =f(х), определенной на интервале (-10;3). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=-3.

( к = о, значит надо найти точки, к которых производная равна 0 , т.е. абсциссы точек пересечения графика производной с осью ОХ)

В) Решение задачи В47 – В48 , В52 – В53 из тематических тренировочных заданий (с. 57)

Г) На рисунке 8 (с. 43) изображен график производной функции, определенной на интервале (-7,5; 7). Найдите промежутки возрастания функции. В ответе запишите количество целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение:

Функция возрастает на промежутках, в которых её производная НЕОТРИЦАТЕЛЬНА. Найдем те целые точки на графике, в которых производная НЕОТРИЦАТЕЛЬНА. (лежит выше оси абсцисс ох). Целых среди них 10.

Д) На рисунке изображен график производной функции, определенной на интервале (-3; 8). Найдите промежутки убывания функции. В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

(на всем промежутке убывания функции ее производная неположительна. У нас таких промежутка два: (-1,5 ; 4,5) и (6,5; 8).Целые точки, входящие в эти промежутки, - это -1;0;1;2;3;4;7, то есть искомая сумма равна -1+0+1+2+3+4+7=16)

6.Самостоятельная работа по вариантам.

Вариант 1.

1. Прямая у = 4х + 8 параллельна касательной к графику функции у = х² + 2х – 7. Найдите абсциссу точки касания.

2. На рисунке изображен график функции у = F(х), определенной на интервале (-8;7). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна

3. На рисунке изображен график производной функции у = F(х), определенной на интервале (-5;4). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 2х + 14 или совпадает с ней.

1. На рисунке изображен график функции у = F(х) и касательной к нему в точке с абсциссой х₀. Найдите значение производной в точке х₀.

Вариант 2.

1. Прямая у = 47х – 5 параллельна касательной к графику функции у = х² -

-7х – 7. Найдите абсциссу точки касания.

1. На рисунке изображен график функции у = F(х), определенной на интервале (-4;5). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

1. На рисунке изображен график производной функции у = F(х), определенной на интервале (-8;7). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 2.

1. На рисунке изображен график функции у = F(х) и касательной к нему в точке с абсциссой х₀. Найдите значение производной в точке х₀.