Урок "Углы и отрезки, связанные с окружностью"

Углы и отрезки,

связанные с окружностью.

10 класс

Учиться можно только весело.

Чтобы переварить знания, надо

поглощать их с аппетитом.

Анатоль Франс

Цели и задачи урока:

Образовательные :

Рассмотреть все возможные комбинации углов и отрезков, связанных с окружностью (углы между: касательной и хордой; двумя пересекающимися хордами; двумя секущими, проведенными из одной точки; касательной и секущей, проведенными из одной точки; двумя касательными, проведенными с одной точки); формировать навык чтения чертежей.

Развивающие:

Развить воображение учащихся при решении геометрических задач, геометрическое мышление, интерес к предмету, математическую речь, память, внимание, умение делать выводы и обобщение.

Воспитательные:

Воспитывать у учащихся ответственное отношение к учебному труду, формировать эмоциональную культуру и культуру общения, чувство патриотизма, умение четко организовывать самостоятельную и индивидуальную работу.

Окружность

секущая

диаметр

радиус

О

хорда

касательная

Дуга

Центральный угол

О

α

В

А

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом

Вписанный угол

α

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом

Теорема о центральном угле

Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги , на которую он опирается.

Теорема о вписанном угле

Вписанный угол измеряется половиной дуги , на которую он опирается

Угол между касательной и хордой

D

О

В

α

А

С

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, измеряется половиной заключенной в нем дуги

Теорема об отрезках пересекающихся хорд

С

AB, CD – хорды,

AB ∩ CD = E.

А

В

Е

АЕ · ВЕ = СЕ ·DЕ

D

Произведение отрезков одной из двух пересекающихся хорд равно произведению отрезков другой хорды.

Теорема о квадрате касательной

МК – касательная,

МВ – секущая,

К

В

М

А

Если через точку М проведены секущая, пересекающая окружность в точках А и В , и касательная МК ( К – точка касания), то МА · МВ = МК².

Угол между двумя пересекающимися хордами

AC, BD – хорды,

АС ∩ BD = M.

А

Угол между двумя пересекающимися хордами измеряется полусуммой заключенных между ними дуг

О

D

К

М

α

L

C

В

Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки

B

МА, МВ – секущие

Q

О

α

M

P

A

Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, измеряется полуразностью заключенных внутри него дуг

Угол между касательной и секущей, проведенными из одной точки

К

МК – касательная,

МА – секущая.

О

А

α

В

М

Угол между касательной и секущей, проведенными из одной точки, измеряется полуразностью заключенных внутри него дуг

Угол между двумя касательными, проведенными из одной точки

К

MK, ML - касательные

α

М

О

L

Угол между двумя касательными, проведенными из одной точки, равен 180 0 минус величина заключенной внутри него дуги , меньшей полуокружности.

Решение задач по готовым чертежам

D

В

1

Дано:

О

Найти:

С

Решение:

Е

А

(по теореме об угле между

касательной и хордой)

Ответ: 67,5 0

72 0

110 0

С

2

Дано:

А

В

Найти:

О

M

D

Решение:

(по теореме об угле между пересекающимися хордами).

Ответ: 146 0

Дано:

3

Найти:

Решение:

D

А

M

(по теореме об угле между секущими).

О

B

C

Ответ: 72 0

O

B

D

C

Дано:

4

Найти :

Решение:

(по теореме об угле между касательной

и секущей).

A

Ответ: 7 0

װ

װ

Дано: окр. (О, R), ∆ABC – равнобедренный,

5

Найти:

B

Решение:

40 0

M

A

C

N

Ответ:

Решение задач по учебнику

№ 816 у доски

№ 817 у доски

Дополнительно: № 821 у доски

Итог урока

Закончи фразу

1) Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, измеряется …

2) Произведение отрезков одной из двух

пересекающихся хорд равно …

3) Произведение секущей на её внешнюю часть

равно …

4) Угол между двумя пересекающимися хордами измеряется …

5) Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, измеряется …

6) Угол между касательной и секущей, проведенными из одной точки, измеряется …

7) Угол между двумя касательными, проведенными из одной точки, равен …

Домашнее задание

§ 1, пп. 85 – 87, стр. 187 – 190

№ 818

№ 819

№ 820

Рефлексия

Спасибо за урок