Урок "Алгоритм решения иррациональных уравнений"

Цель данного урока – сформировать у учащихся целостное представление о способах решения иррациональных уравнений. Показать многообразие способов решения, научить выбирать наиболее рациональный способ для каждого конкретного уравнения, научить классифицировать уравнения по способу их решения. Воспитывающей стороной урока является помещение ученика в ситуацию выбора, определяя её как главную жизненную ситуацию. Главная цель – учить думать и рассуждать, принимать верное решение, оценивая и учитывая по возможности все положительные и отрицательные стороны.

Основным средством для достижения указанных целей является правильно составленная система упражнений, обеспечивающая поэтапное продвижение к составлению общей схемы по методам решения иррациональных уравнений. На каждом этапе делается вывод об эффективности данного способа решения, о его возможно отрицательных сторонах и признаках узнаваемости тех уравнений, для которых подходит именно данный способ.

Полезными моментами урока являются: решение одного уравнения разными способами с обсуждением степени эффективности каждого, рассмотрение некоторых уравнений, решение которых выходит за традиционные рамки и должны вызвать у учащихся интерес своей оригинальностью.

Данный урок – это урок обобщения способов решения иррациональных уравнений. Его место должно определяться знанием материала по темам: «Понятие корня n-ой степени из действительного числа», «Функции у = , их свойства и графики».

Урок проводится в виде лекции при активном участии учеников.

Цели урока:

Образовательные:

изучить различные методы решения иррациональных уравнений, формировать умения учащихся подходить к решению уравнений с исследовательских позиций, осознанно применять знания, формировать навыки, которые обеспечат успешное выполнение заданий ЕГЭ;

Развивающие:

развитие математического мышления, интеллектуальных и познавательных способностей, алгоритмической культуры, навыков самообразования, самоорганизации, развитие умения обосновывать свое решение, обобщать и систематизировать полученные знания, контролировать и оценивать результаты своих действий.

Воспитательные:

воспитание познавательной активности, чувства ответственности за выполненную работу, дисциплинированности, аккуратности, самостоятельности и интереса к предмету.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, плакат с цитатой М.В. Ломоносова «Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит», карточки.

Тип урока. Урок обобщения и систематизации знаний.

Методы обучения. Частично-поисковый, исследовательский.

Ход урока:

1. Вводная часть.

Слова Эйнштейна. Краткая вводная беседа.

(слайд-1, 2 презентации)

Вспомним, какие уравнения называются иррациональными.

(слайд-3 презентации)

2. Займёмся решением иррациональных уравнений.

1) решим уравнение:

2х – 8 = 36

…………..

Мы решаем это уравнение по определению. То есть обе части уравнения возводим в квадрат. А не применить ли этот принцип для решения иррациональных уравнений вообще?

2) решим уравнение:

D = 9 х = 4 и х = 1 Это ответ? Нет.

Проверкой убеждаемся, что х = 1 не является корнем уравнения. Ответ: 4.

3) На слайдах № 4 и № 5 посмотрим и обсудим решение уравнений:

и

Обсудим решение. Хороший способ? Да! Нельзя забывать про проверку!

4) Реши сам:

Проверка: х=0 1=-1 не верно

х=5 4=4 верно

Ответ: 5.

4) Решим уравнение:

надо выполнить проверку, но подстановка довольно обременительна. Довольно сложно определить, проходит ли этот корень проверку или нет. Мы столкнулись с проблемой.

5) Рассмотрим ещё одно уравнение:

…………………………….

В данном случае получили иррациональные корни, и проверка невозможна вообще! Проблема того же характера. Как быть?

Проверка призвана «отсеять» «лишние» корни, появившиеся в результате возведения обеих частей уравнения в соответствующую степень. Можно вместо проверки заранее выставить «контролирующие» данную ситуацию условия. Они основываются на определении корня чётной степени.

второе условие является лишним, т.к. следует из первого, тогда

т.е. для выяснения «пригодности» корней и потребуется только проверка условия: . Эта задача вполне выполнима.

Данный метод называется «метод равносильных переходов»

6) Вернёмся к решению уравнения:

Ответ: 7,75

7) Вспомним ещё об одном методе, в основе которого лежат знания о функциях и графиках.

Как мы называем этот метод?

Расскажите, как он действует.

Ответ: Функционально-графический.

1. графический: строим графики левой и правой частей, получаем информацию о количестве и примерном значении корней, осуществляем проверку

2. основанный на свойстве монотонности функций: убеждаемся в разном характере монотонности функций выражений, стоящих в левой и правой частях уравнения, делаем вывод о единственности корня (на основе теоремы), подбором находим корень.

Этот метод позволяет быстро и красиво решить некоторые иррациональные уравнения. Например:

3) Проанализируем решения всех сегодняшних уравнений ………..

Оформим все выводы в виде схемы: (слайд № 6)

4) Рассмотрим на экране примеры «нетрадиционных» решений некоторых иррациональных уравнений.

(слад № 7,8)

Вывод: При решении уравнений, особенно, если возникают серьёзные затруднения на любом этапе решения, следует привлечь и нетрадиционные, необычные, порой очень «собственные» и красивые способы решения. Это всегда вызывает уважение и восхищение по отношению к ученику.

5) Домашнее задание:

( карточка ) презентация слайд № 9

Решить уравнения и распределить их в таблице согласно способу решения

6) Подведём итог сегодняшнего урока:

Презентация слайд № 10

- Какие методы решения иррациональных уравнений рассмотрели на уроке?

- Каковы идеи методов, признаки распознавания?

- Какие затруднения возникли при решении уравнений?